多功能圓錐曲線規的研制探討

聶晶晶 劉政源 閔思煜等

摘 要：基于各種圓錐曲線不同的性質，將圓錐曲線性質與機械連桿機構巧妙結合，制作成能簡易準確地繪出圓錐曲線的易攜帶機構，它同時兼備小巧、方便、準確等多個優點，能很好地應用在工業生產等方面。

關鍵詞：圓錐曲線；連桿機構；多功能

中圖分類號：TH122 文獻標識碼：A 文章編號：1006-8937（2015）03-0053-02

如何簡易繪出準確的橢圓、雙曲線及拋物線圖形，如何既準確又迅速的畫出圓錐曲線是件令人頭疼的事情。

該多功能線規利用簡單的機械原理與各種圓錐曲線的不同特性，能精準而輕松的繪出橢圓、雙曲線及拋物線多種圓錐曲線，大大節省了繪圖時間。

同時，精準的圖形將更直觀的反映圓錐曲線及其曲線上點的特征，也可更方便的在繪圖的動態過程中通過對圖形的觀察發現規律與特性。再者，在制圖的同時進一步認識、了解圓錐曲線的特性，并且還能深刻體現出連桿機構的工作原理、運動情況，及連桿機構在生活中的廣泛運用，有不同凡響的功效和意義。

1 提出問題

圓錐曲線的繪制大都采用像四圓心法、八圓心法等較為復雜的近似方法。

目前我們接觸的手動畫曲線的方法基本有三種：

①描點法，即根據方程描繪出幾個主要點，然后用平滑的曲線連結點得到函數曲線。

②借助于教具，像用圓規畫圓一般，用固定一根繩的方法畫橢圓。

③利用三角板畫曲線，這種畫法是以垂足曲線與反垂足曲線為背景的，可以用來畫拋物線、橢圓和雙曲線，但這種繪圖方法需要根據圓錐曲線的方程來計算，比較麻煩。

除此之外，可以用幾何畫板，Matlab，CAD等繪圖軟件繪制圓錐曲線，但在現代社會，手工繪圖仍然占很大的比重，因此圓錐曲線規是有非常多的潛在用戶的。

該項目的創新特點主要有以下方面：

①創造性的將橢圓，雙曲線和拋物線繪圖制作在一塊板上，更容易攜帶。

②融入機械結構，所用機構結構簡單，容易加工，容易推廣。

③可作為機械設計課程連桿機構課堂的教具使用，更直觀地看到機構的應用。

2 結構、機構設計

本項目需解決的關鍵是如何在一塊繪圖板上繪制三種不同的圓錐曲線，根據圓錐曲線的第二定義，橢圓的定義是曲線上的點到兩焦點距離之和為定值，雙曲線的定義是曲線上的點到兩焦點距離之差為定值，而拋物線的定義是曲線上的點到焦點和準線之間距離相等。

利用本機構可以很簡單的實現并滿足橢圓、拋物線和雙曲線的曲線方程。

采用如圖1所示的四鉸接菱形，AB，BC，CD，DA相等，用螺釘相連，在A點和B點連有滑塊導槽的連桿PK和AC，由數學知識可知，機構在運動過程中始終可以保證MB=MD=常數。

繪制橢圓時，根據橢圓的基本原理，曲線上的點到兩焦點距離之和為定值，如圖2所示，M為橢圓上的點，該點到橢圓兩焦點P點和D點的距離之和應為定值，而由機構特性可知，在運動過程中始終保證MP=MD，因此MP+MD=PB。

繪制雙曲線時，曲線上的點到兩焦點距離之差為定值，如圖3所示，M為橢圓上的點，該點到橢圓兩焦點P點和D點的距離之差應為定值，而由機構特性可知，在運動過程中始終保證MB=MD，因此MP-MD=PB。

繪制拋物線曲線時，繪制雙曲線時，曲線上的點到兩焦點距離之差為定值，如圖4所示，而由機構特性可知，在運動過程中始終保證MB=MD，因此拋物線上的點M（即是準線）到B點和D點的距離保證相等。但需要注意的是，在運動過程中PK要保證始終于EE。

基于以上原理本產品采用有機玻璃作為底板，在底板上有兩條滑槽，三個固定孔，用到六根連接桿，其中相同的四根構成菱形機構，另外兩根都帶有滑道。具體情況如圖5所示。

在繪圖板上，（1）為底板，（2）為底板配件，連桿（5）用螺釘（3）和螺釘（13）固定，使連桿（5）圍繞螺釘（3）旋轉，連桿（4）用螺釘（12）固定，在運動過程中墊塊（11）在連桿（4）的滑槽中移動，（6）為菱形機構的連桿，共四根，圖中（12），（13），（8），（7）均為固定螺釘。畫筆放置在連桿（4）和連桿（5）的焦點處滑槽內，隨著連桿（5）的旋轉，可以畫出橢圓曲線。

將螺釘（3）松開，變化連桿（4）和（5）的相對位置即可畫出拋物線和雙曲線的曲線軌跡，即完成了在一塊畫板上完成三種不同圓錐曲線的繪制。

3 前景展望

使用本多功能線規可以準確而且方便的繪制圓錐曲線，給設計提供了便利并且節約時間。本作品成本低，若能正式生產投入市場，將會有很好的市場前景。會給從事機械制造、工藝美術、科學研究和教學工作的工程技術人員、研究人員、教師、美術工作者和工人們提供了很大的便利。

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