易混易錯的條件概率問題

向清耀 皮桂蘭

條件概率是新課程標準實施后新增加的內容，它較以往互斥事件和獨立事件的概率求法有很大區別，且與獨立事件容易混淆，很多學生在此辨別不清，特別是條件概率中的條件變復雜時，學生更是無所適從，理不清頭緒，自然成了難點，但它已成為近幾年高考的新熱點，而且難度不斷加深，題目也由選填題逐步變化在解答題中呈現，我們

應該引起足夠的重視！

下面就如何辨析及求解“條件概率”問題整理如下，幫助學生走出迷霧！

一、定義回顧

設A和B為兩個事件，P（A）>0，那么，在A“已發生”的條件下，B發生的條件概率P（B|A），讀作A發生的條件下B發生的概率.

定義為：P（B|A）=

n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）=P（AB）P（A）.

思考1三張獎券中只有一張能中獎，現分別由三名同學無放回地抽取，問最后一名同學抽到中獎獎券的概率是多少？

錯解第一人中獎概率是13，后2人概率為12.

正解若抽到中獎獎券用“Y ”表示，沒有抽到用“Y”表示，那么三名同學的抽獎結果共有三種可能：YYY，YYY和YYY.易知每一名同學抽到中獎獎券的概率都為13.

思考2三張獎券中只有一張能中獎，如果在第一名同學沒有抽到中獎獎券的條件下，最后一名同學抽到獎券的概率是多少？

錯解中獎概率是13.

正解用Ω表示三名同學可能抽取的結果全體，Ω={YYY，YYY，YYY}.既然已知事件A必然發生，那么只需在A={YYY，YYY}的范圍內考慮問題，在事件A發生的情況下事件B發生等價于事件A和事件B同時發生，

即AB發生.而事件AB中僅含一個基本事件YYY，因此P（B|A）=n（AB）n（A）=12.

問題的關鍵是條件概率發生的樣本空間發生了變化！由Ω={YYY，YYY，YYY}A={YYY，YYY}.

二、范例分析

例1某市準備從7名報名者（其中男4人，女3人）中選3人參加三個副局長職務競選，若選派三個副局長依次到A、B、C三個局上任.求

（1）所選3人中A局為男副局長的概率；

（2）所選3人中A局為男副局長，B局為女副局長的概率；

（3）A局是男副局長的情況下，B局為女副局長的概率.

分析此題關鍵要讀懂題意，能夠辨別獨立事件和條件概率，不能混淆，第二問和第三問分別考查獨立事件同時發生和條件概率的求法.

解（1）記D=“A局是男副局長”，

P（D）=C14A26A37=4×6×57×6×5=47.

（2）記D=“A局是男副局長”，E=“B局為女副局長”，

P（DE）=C14C13C15A37=4×3×57×6×5=27.

（3）法一：記D=“A局是男副局長”，E=“B局為女副局長”，

則P（E|D）=P（DE）P（D）=C14C13C15/A37C14A26/A37=C14C13C15C14A26=4×3×54×6×5=12.

法二：記D=“A局是男副局長”，E=“B局為女副局長”.

則P（E|D）=n（DE）n（D）=

C14C13C15C14A26

=12.

法三：（縮小樣本空間）既然A局是男副局長，只需考慮B局和C局，B局只能從3個女副局長中選一個，C局任意選.

則P（E|D）=3×56×5=12.

例2在一個盒子中有大小一樣的20個球，其中10個紅球，10個白球，每個人從盒子中摸出一個球，摸后不放回，然后下一個人接著摸球.

（1）求第一個人摸出一個紅球的概率.

（2）求第1個人摸出1個紅球，緊接著第2個人摸出一個白球的概率.

（3）求在第1個人摸出1個紅球的條件下，第2個人摸出一個白球的概率.

解記“第1個人摸出紅球”為事件A，“第2個人摸出白球”為事件B，

（1）P（A）=1020=12； （2）P（AB）=10×1020×19=519；

（3）法一： P（B|A）=P（AB）P（A）=5/1910/20=1019

法二：P（B|A）=n（AB）n（A）=A110A110A110A110+A210=1019

法三：（縮小樣本空間）第一次摸出的球不再考慮，第二次只能從剩余的19個球中去摸，摸到白球的可能有10種，則P（B|A）=C110C119=1019.

規律提煉

（1）解決“條件概率”問題的一般方法：

法一：P（B|A）=P（AB）P（A）

法二：P（B|A）=n（AB）n（A）

法三：縮小樣本空間

（2）P（B|A）與P（AB）的概率有本質的區別與聯系

聯系：事件A、B都發生了

區別：樣本空間不同，在P（B|A）中，事件A成為新的樣本空間；

在P（AB）中，樣本空間仍為原樣本空間.

是否以上三種方法對所有條件概率問題都適用呢？不一定.

圖1

例3（2011年湖南高考）如圖1，EFGH是以O為圓心、半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，則（1）P（A）=；（2）P（B|A）=.

答案：2π，14.

法一：

∵P（A）=2π，P（AB）=12π=12π

∴P（B|A）=P（AB）P（A）=12π2π=14

法二：（縮小樣本空間 ）也即落在正方形區域的面積與扇

形中的正方形的面積之比. P（B|A）=122=14.

規律提煉

1.在古典概型背景下的條件概率3種方法一般均能夠適用，但在幾何概型中不能用方法2；

2.條件概率的計算方法要根據具體問題靈活選擇！

三、能力提升

例4某中學為了迎接即將在武漢市召開的世界中學生運動會，學生籃球隊準備假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3 個是舊球（即至少用過一次的球）.每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回.

（1）設第一次訓練時至少取到一個新球，第二次訓練也取到一個新球的概率.

（2）在第一次訓練時至少取到一個新球的條件下，求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率.

分析此題第一問和第二問仍然是獨立事件與條件概率的區別，但更主要的是條件概率中“條件A”變復雜如何解決！

解（1）設“第一次訓練時取到i個新球”為事件Ai（i=1，2，3）.

P（A1）=C13C13C26=35，P（A2）=C23C26=15.

設“從6個球中任意取出2個球，恰好取到一個新球”為事件B.

則“第一次訓練時至少取到一個新球，第二次訓練時恰好取到一個新球”就是事件A1B+A2B，而事件A1B、A2B互斥，

所以，P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）.由條件概率公式，得

∵P（A1B）=P（A1）P（B|A1）=35×C12C14C26=35×815=825

又∵P（A2B）=P（A2）P（B|A2）=15×C11C15C26=15×13=115.

所以，第一次訓練時至少取到一個新球，第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為

∴P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）=825+115=2975.

（2）法一：設A=“在第一次訓練時至少取到一個新球”，C= “第二次訓練時恰好取到一個新球”，

則第一次訓練時至少取到一個新球的條件下，第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為P（C|A）.

∵P（A）=P（A1）+P（A2）=45

又∵P（AC）=P（A1B）+P（A2B）=825+115=2975.

∴P（C|A）=2975÷45=2960

法二：

設A=“第一次訓練時至少取到一個新球”

C=“第二次訓練時恰好取到一個新球”

P（C|A）=n（AC）n（A）=C13C13C12C14+C23C11C15（C13C13+C23）C26=2960.

典型錯解

1.第一問和第二問互相混淆.

2.第二問中易錯解為P（C|A）=C12C14+C11C15C26=1315.

規律總結

1.認真分析、甄別究竟是獨立事件同時發生還是條件概率.

2.屬古典概型背景下的條件概率問題一般可以用三種方法解答：

法一：P（B|A）=P（AB）P（A）

法二：P（B|A）=n（AB）n（A）

法三：縮小樣本空間

屬于幾何概型背景下的條件概率問題一般可以用兩種方法解答：

法一：P（B|A）=P（AB）P（A）

法二：縮小樣本空間

3.當條件變得復雜時應該牢記條件概率公式并解答.

四、銜接練習

1.（2011遼寧）從1，2，3，4，5中任取2個不同的數，事件A=“取到的2個數之和為偶數”，事件B=“取到的2個數均為偶數”，則P（B|A）=（）.

A.18 B.14 C.25 D.12

2.（2010安徽）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（寫出所有正確結論的編號）.

①P（B）=25；

②P（B|A1）=511；

③事件B與事件A1相互獨立；

④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；

⑤ P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發生有關.

3.若α∈（0，π2），方程x2sin2α+y2cos2α=1表示焦點在y軸上的橢圓的條件下長半軸長不小于2的概率是.

4.在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題，求：

（1）第1次抽到理科題的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科題的概率；

（3）在第 1 次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率.

5.科研人員為了研究某病毒抗體疫苗，現用小白鼠作抗體實驗，可重復使用.實驗前共有8只小白鼠，其中4只新白鼠（即沒有試驗過的小白鼠），4只舊白鼠（即至少實驗過一次的小白鼠）.每次實驗，都從中任意取出2只，實驗完后放回.

（1）設第一次實驗時至少取到一只新白鼠，第二次訓練時恰好取到一只新白鼠的概率；

（2）在第一次實驗時至少取到一只新白鼠的條件下，求第二次實驗時恰好取到一只新白鼠的概率.

答案：

1.B 2.②④ 3.23

4.解（1）P（A）=n（A）n（Ω）=1220=35.

（2）P（AB）=n（AB）n（Ω）=620=310.

（3）法一、 由（ 1 ） （ 2 ）可得，在第 1 次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率

P（B|A）=P（AB）P（A）=31035=12.

法二、 因為n（AB）=A23=6，n（A）=A13×A14=12，所以P（B|A）=612=12.