分部積分法的一些技巧

陳旭松

摘 要 分部積分法公式 = 看起來簡單，用起來不容易，因為題目中的被積函數 常是一個整體，如何把 拆分成和 是學生最困難的，筆者通過多年教學摸索了一些經驗，即選擇的優先標準是按“反對冪三指”的順序依次選擇。

關鍵詞 分部積分法 反對冪三指

設函數 = （）及 = （）具有連續導數，已知兩個函數乘積的導數公式為 = ?+ 或 = 對上式兩邊求不定積分得 =

為方便，此公式也可以寫成

=

這就是不定積分的分部積分法公式。

例1 求

解：選取 = ， = 則 = 1， = 代入分部積分公式

=

而容易積出，于是

=

但如果選擇 = ， = 則 = ， =

=

此積分比原積分更不易求出，由此可見，如果選取不當，就求不出結果。

通過以上例子可以看出，用分部積分法的關鍵在于正確地選好及，應該怎樣選取和呢？一般說要考慮以下兩點：

（1）要容易求得;

（2）要比原積分容易積出。

具體地講：由于被積函數多由冪函數，指數函數，對函數，三角函數，反三角函數等五大類基本初等函數組成，在長期的實踐中摸索出，選擇的優先標準為“反對冪三指”或“反對冪指三”。如被積函數是組成，則令 = ， = ;被積分函數是，則令 = ， = ;被積函數是組成，可令 = ， = ，也可令 = ， = 。

例2 求

解這里被積函數是 ?= ，即由冪函數與反三角函數之積組成設 = ， = 。

= ?= ?+ ?= ? ?+

有時，在一個題目中可能多次使用分部積分法，才能得到結果，為了簡化這類問題的計算，我們給出一種相對簡單的方法來處理此類積分，我們把公式

=

表示成表格形式

即 =

例3 求

解：按“反對冪三指”的順序，選 = ， = 寫成表格形式

所以 =

= ?=

例4 計算

解：按“反對冪三指”的順序，選 = ， = 寫成表格形式

線段兩端的式子相乘，乘積的等號取線段上的符號（正負交替出現）所以

= ?+ ?+

= （） +

總之，理解分部積分公式，掌握以上選擇的優先標準“反對冪三指”用分部積分法求積分就會事半而功倍了。

參考文獻：

[1]斯托利亞爾.數學教育[M].北京：人民教育出版社，1985.

[2]美]波利亞.數學與猜想[M].北京科學出版社，1989.

[3]姚允龍.高等數學與數學分析（方法導引）[M].上海：復旦大學出版社，1998.

（作者單位：襄陽職業技術學院）