談“反證思想”在培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思辨能力中的應(yīng)用

楊麗麗

對(duì)于一個(gè)命題，當(dāng)使用直接證法比較困難時(shí)，可以采用間接證法，“反證法”就是一種間接證法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以借用“反證法”培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓寬學(xué)生思維的廣度。還可將“反證法”拓展開(kāi)去，用“反證思想”分析和解決問(wèn)題，使之與正向思維共同作用，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力。

一、“反證法”在初中教材中的解讀

“反證法”在初中數(shù)學(xué)教材中，雖然并不是作為基本技能要求學(xué)生掌握，但處處有所滲透，并逐步提高要求。如蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第7章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”中，課本編寫(xiě)“讀一讀” ——怎樣證實(shí)“兩直線平行，同位角相等”，運(yùn)用了反證法。這里已經(jīng)逐步揭示反證法的基本思路：“反設(shè)→歸謬→存真”。

八年級(jí)下冊(cè)第九章中，提出了一個(gè)用“反證法”解決的簡(jiǎn)單問(wèn)題，并對(duì)反證法給出了明確的定義：先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后由這個(gè)“假設(shè)”出發(fā)推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，說(shuō)明假設(shè)是錯(cuò)誤的，因而命題的結(jié)論成立。讓學(xué)生了解了反證法的基本步驟、體會(huì)反證法在解決問(wèn)題中的作用。

由此看來(lái)，考慮到學(xué)生的年齡特征，對(duì)于“反證法”，在初中教材中的安排是謹(jǐn)慎而又循序漸進(jìn)的，它是對(duì)提高學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)思辨能力的一個(gè)補(bǔ)充，在思維方式上給學(xué)生以新的思路和啟發(fā)。

二、“反證思想”滲透教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力

數(shù)學(xué)思辨能力，即數(shù)學(xué)思考辨析問(wèn)題的能力，包括分析、推理、判斷、解決問(wèn)題。良好的思辨能力體現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題的分析和結(jié)論進(jìn)行層次分明、條理清晰的解釋和論證，具有較強(qiáng)的邏輯性。而“反證思想”是“反證法”中蘊(yùn)含的逆向思維方式在問(wèn)題解決中的應(yīng)用。借用“反證思想”還能幫助學(xué)生能夠在千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，突破傳統(tǒng)單一的解題思路，創(chuàng)新解決新方法，進(jìn)一步深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

（一）從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，使學(xué)生了解“反證法”的基本思路和一般步驟

初中數(shù)學(xué)知識(shí)中包含很多定理、定義等，一些定理或者初始命題難以發(fā)現(xiàn)直接證明的論據(jù)。從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，使“反證法”為學(xué)生提供新的解題思路。讓學(xué)生了解它的基本思路和一般步驟，從而能觸類旁通、靈活地解決問(wèn)題。

例1：求證：在一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角。

第一步，反設(shè)——假設(shè)問(wèn)題的反面成立。假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)（或三個(gè)）鈍角。

第二步，歸謬——從假設(shè)出發(fā)得出與已知條件、定義、定理或基本事實(shí)相矛盾的結(jié)果。那么這兩個(gè)（或三個(gè)）鈍角的和大于180°，這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”相矛盾，

第三步，存真——推翻假設(shè)，說(shuō)明假設(shè)不成立，原命題成立。所以假設(shè)不成立，所以“一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角”。

（二）巧用“反證思想”解決問(wèn)題，培養(yǎng)思維的靈活性和嚴(yán)謹(jǐn)性

“反證思想”是利用“反證法”的基本解題思路，解決一些諸如判斷性問(wèn)題、存在性問(wèn)題、重合性問(wèn)題等比較難以下手的問(wèn)題。