基于高等數(shù)學(xué)若干知識(shí)點(diǎn)的探討

陳茜

[摘 要]教學(xué)授課是一個(gè)非常靈活的過(guò)程。教師在講授課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)該在課堂中根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)對(duì)象、課堂氣氛等的需求，及時(shí)引入、總結(jié)或糾正一些教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，會(huì)使得教學(xué)課堂更豐富、教學(xué)對(duì)象更受益、教學(xué)效果更良好。應(yīng)用二重積分的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)數(shù)學(xué)題目可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。

[關(guān)鍵詞]極限 導(dǎo)數(shù) 積分 對(duì)稱(chēng)性

[中圖分類(lèi)號(hào)] O13[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 2095-3437（2015）12-0120-02

教學(xué)授課是一個(gè)非常靈活的過(guò)程。如果教師在講授課本知識(shí)的基礎(chǔ)上，能夠在課堂中根據(jù)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)對(duì)象、課堂氣氛等的需求，及時(shí)引入、總結(jié)或糾正一些教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。那么會(huì)使得教學(xué)課堂更豐富、教學(xué)對(duì)象更受益、教學(xué)效果更良好。基于課堂教學(xué)的感受，我們討論了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

一、函數(shù)極限教學(xué)內(nèi)容順序的適當(dāng)調(diào)整

同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)中極限概念的教學(xué)是從數(shù)列極限開(kāi)始的。

由于數(shù)列中自變量只能取正整數(shù)這一種情況，所以數(shù)列的極限只討論n趨于正無(wú)窮時(shí)數(shù)列收斂的情況。但對(duì)于廣義上的函數(shù)來(lái)說(shuō)，自變量x在一維數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，除了x可趨于正無(wú)窮外，還有x→-∞，x→∞，x→a，x→a-，x→a+這五種方式。那么學(xué)習(xí)數(shù)列極限的基礎(chǔ)上，再引入函數(shù)極限時(shí)，可以首先引入x→+∞時(shí)函數(shù)的極限。原因在于：兩者的自變量都在趨于正無(wú)窮，只要將數(shù)列自變量取離散正整數(shù)的狀態(tài)推廣為連續(xù)狀態(tài)下的正實(shí)數(shù)就過(guò)渡到了函數(shù)的極限;在“ε”語(yǔ)言中，只要將n∈N+改寫(xiě)為x∈X。

這樣的引入有助于學(xué)生理解數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)極限的區(qū)別和聯(lián)系，鞏固了數(shù)列和函數(shù)極限的概念，又便于函數(shù)更進(jìn)一步的引入x→-∞，x→∞的情況。同時(shí)對(duì)于進(jìn)一步在x→a，x→a-，x→a+下的函數(shù)極限講解就顯得水到渠成了。但在同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教材中引入函數(shù)極限是從x→a開(kāi)始的，隨后才是x→∞。這樣就將數(shù)列和函數(shù)在無(wú)窮下的極限聯(lián)系斷開(kāi)，不利于極限概念的深入理解和鞏固，同時(shí)對(duì)x→a函數(shù)極限的學(xué)習(xí)就顯得難上加難了。

二、分段函數(shù)求導(dǎo)的誤區(qū)

在講解函數(shù)求導(dǎo)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生遇到分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的題目，其方法是直接求導(dǎo)，究其原因是高中數(shù)學(xué)教學(xué)所導(dǎo)致。由于在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中所遇到的分段函數(shù)并非“完美函數(shù)”，即在分段點(diǎn)處不一定可導(dǎo)。。

在課堂教學(xué)中對(duì)分段函數(shù)的求導(dǎo)，我們一般可以采用最基本的方法：在定義的開(kāi)區(qū)間內(nèi)直接求導(dǎo);對(duì)分段點(diǎn)處利用導(dǎo)數(shù)的定義：求分段點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)并根據(jù)導(dǎo)數(shù)存在的充要條件來(lái)判斷分段點(diǎn)處的情況。

這樣可以讓學(xué)生從知識(shí)點(diǎn)上理解導(dǎo)數(shù)定義，同時(shí)注意讓學(xué)生理清極限、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系;從方法上要求學(xué)生從繁到簡(jiǎn)，在基礎(chǔ)功扎實(shí)的前提下再利用導(dǎo)數(shù)單側(cè)極限定理，快速有效的解題。

三、有理函數(shù)積分的常見(jiàn)類(lèi)型

有理函數(shù)的積分過(guò)程比較繁瑣，一道題目的積分除了分成部分分式之和以外，還需要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇不同的積分方法，具有極大的靈活性。根據(jù)課堂教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，我們給出有理函數(shù)幾種常見(jiàn)的積分類(lèi)型，討論它們被積函數(shù)的特點(diǎn)，并粗略的概括它們的積分方法。以下討論的被積函數(shù)均是真分式的情況。

1.如果分母Q（x）可以分解因式，通常采用裂項(xiàng)法把被積函數(shù)裂成部分分式之和。再分別求積分即可。

我們只是籠統(tǒng)地?cái)⑹隽巳N常見(jiàn)積分的求解過(guò)程。現(xiàn)在我們用一道例題給出具體的演算過(guò)程。

四、重積分對(duì)稱(chēng)性的引入

利用區(qū)間的對(duì)稱(chēng)性和函數(shù)的奇偶性做積分題，可以大大提高做題效率，簡(jiǎn)化做題過(guò)程。這在定積分中已有結(jié)論。對(duì)于二重積分例外。我們可以把積分的對(duì)稱(chēng)性總結(jié)為：奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間或者區(qū)域上的積分為零，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間或者區(qū)域上的積分等于一半?yún)^(qū)間或者一半?yún)^(qū)域上積分的兩倍.二重積分的對(duì)稱(chēng)性可以簡(jiǎn)單記為“你對(duì)稱(chēng)，我奇偶”。比如：若積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，就把被積函數(shù)f（x，y）看作x的一元函數(shù)，y看作常量。如果f（x，y）是x的奇函數(shù)，二重積分就為零。

如果應(yīng)用二重積分的對(duì)稱(chēng)性，這三道題目可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高做題效率。但在課本中幾乎沒(méi)有涉及二重積分的對(duì)稱(chēng)性的這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所以在課堂教學(xué)時(shí)如果能夠給同學(xué)適當(dāng)?shù)奶砑舆@個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并給出幾個(gè)具體的題目做一做，講一講，總結(jié)一下，我想這不但豐富了同學(xué)的積分知識(shí)，又可為考研這樣的大型考試添磚加瓦。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《高等數(shù)學(xué)》（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 劉玉璉，付沛仁.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 黃先開(kāi)，曹顯兵，施明存，等.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試歷屆試題理工數(shù)學(xué)一[M].北京：世界圖書(shū)出版社，2004.

[4] 郝海龍.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全（歷年統(tǒng)考真題分類(lèi)訓(xùn)練）（第一版）[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2014.

[責(zé)任編輯：王 品]