完美數與梅森素數

蔡天新

上期，我們講了公元前5世紀畢達哥拉斯所定義的完美數、友好數及其現狀。完美數等于自身的真因數之和，其中最小的是6，因為有6=1+2+3。第二小的完美數是28，因為28=1+2+4+7+14。自誕生以來。完美數就具有一種誘人的魔力，吸引了眾多的數學家和業余數學愛好者。他們像淘金客一樣“趨之若鶩”，永不停歇地去尋找完美數。

我們也曾提到，1747年，客居柏林的瑞士大數學家歐拉證明了，一個偶數n要成為完美數當且僅當它是下列形式的數：

n=2^p-1（2^p-1），

①其中p和2^p-1-1均為素數。

可是，在這中間約有2300年。這中間數學家和業余數學愛好者們都去干了些什么呢？難道什么也沒做嗎？

事實上，公元前3世紀問世的歐幾里得的《幾何原本》中便提到并證明了公式①是偶完美數的充分的條件。但這個充分條件很可能是由柏拉圖的弟子阿契塔首先發現的，他生活在公元前4世紀。相傳，風箏也是他發明的。當p取2和3時，分別對應于6和28這兩個完美數；而當p取5和7時，則分別對應于496和8128。對于比較小的p，2^p-1-1是素數不難驗證。但并非總是如此。

大約在1000年，巴士拉（今伊拉克）出生的阿拉伯數學家海桑猜測，①也是偶完美數的必要的條件。可他當時無法給出證明。這不禁讓我們想起了非歐幾何學的那些最早的探索者，他們也是幾位阿拉伯和波斯的數學家。海桑還是中世紀的最重要的一位物理學家，尤以光學方面的貢獻最大。古希臘的希羅和托勒密認為，人能看見物體是靠眼睛發射出的光線被物體反射的結果。海桑對此予以糾正，他認為光是由太陽或其他發光體發射出來的，然后通過被看見的物體反射人人眼。

巴士拉位于巴比倫河的人海處，它是伊拉克戰爭期間美英聯軍首先攻占的城市。海桑生前被尊稱為“巴士拉先生”，但他的學術生涯主要是在開羅度過的。他的生活并不如意。一次，他為了惹人注意。聲稱自己能夠調控經常泛濫的尼羅河水，結果被國王下令去完成調控任務。海桑在明白這個任務不可能完成以后，便對自己的生命感到了擔憂，遂開始裝瘋賣傻，直到國王去世才恢復“正常”。

第5個完美數姍姍來遲，與第4個差不多相隔了13個半世紀，橫跨了中世紀漫長的黑暗年代。直到15世紀，確切地說是在1456年到1461年間，它才由一位無名氏發現。這第5個完美數是一個8位數：33550336，對應于p=13。但在歐拉的證明之前，人們還不能斷定這就是第五小的完美數，因為有可能存在被遺漏的完美數，也即在第4個完美數和第5個完美數中間可能會有別的完美數。

1588年，博洛尼亞的意大利數學家卡塔迪找到了第6個完美數8 589 869 056和第7個完美數137 438 691 328，分別對應于p=17和p=19。至此，完美數研究的領先優勢又重新回到了歐洲。有趣的是。在卡塔迪之前，至少有19個人聲稱找到了所謂的第6個完美數。而第7個完美數所包含的那個素數2¹⁹-1=524287，在此后的兩個世紀里竟然一直是人類所知曉的最大的素數。

在卡塔迪發現第6個和第7個完美數的同一年，法國天主教神父梅森（1588-1648）誕生了。他的故鄉在巴黎西部盧瓦河大區的薩爾特省。梅森研究了形如M_n=2ⁿ-1的整數，這類整數被后人稱為梅森數。當梅森數為素數時，則稱為梅森素數。顯而易見，有多少個梅森素數，就有多少個完美數。但在那個年代。這個命題的逆命題是否成立，尚不得而知。

當人們發現M₂=3，M₃=7，M₅=31，M₇=127都是素數時，自然會聯想并猜想所有的M_p（p為素數）都是素數。但這個猜想卻是錯誤的，事實上，

M_n=2¹¹=2047=23×89。

不管怎么說吧，自從梅森素數出現以后，完美數的歷史便與梅森素數掛上了鉤。

17世紀。兩位多才多藝的大數學家笛卡爾和費馬對人類文明作出了巨大的貢獻。對完美數問題，他們也悄悄予以關注，并傾注了心血，不過卻收效甚微。笛卡爾曾公開預言：“能找出的完美數是不會很多的。就好比人類一樣，要找一個完美的人并非易事。”1638年，笛卡爾在給梅森的信中寫到：“我想我能夠證明，除了歐幾里得所給出的以外，再也沒有別的偶完美數了；而一個奇數要成為完美數，必然是一個素數與若干個不同素數的平方的乘積……”但笛卡爾的預言要再過一個多世紀才能實現呢。

1640年，經過數年的探索以后，費馬在給梅森的信中聲稱他可以證明：當指數n是合數時，2ⁿ-1必然也是合數。自那以后不久，費馬寫信給另一個朋友，宣布了著名的費馬小定理：若p是素數，p不整除a，則p必整除a^p-1-1。不難看出，費馬是從完美數的研究過程中得到了費馬小定理的。后者在現今流行的密碼學理論中正發揮著極其重要的作用。這里再說個小插曲：據說微積分學的兩個發明人之一、德國數學家兼哲學家萊布尼茲就曾荒謬地認為，2ⁿ-1是素數當且僅當n是素數。

梅森收到費馬的來信以后，非常高興，對不超過257的所有素數p，研究了2^p-1形的素數，并在1644年把結果公之于眾。梅森是著名的哲學家、數學家，還被譽為“聲學之父”。梅森是17世紀前半葉法國科學界和數學界的中心人物，法國科學院的雛形其實是他舉辦的沙龍。

現在，輪到瑞士出生的大數學家歐拉（1707-1783）登場了。

1747年，客居柏林的瑞士數學家歐拉終于證實了海桑的猜想，即凡是偶完美數其必具有①的形式。從今天來看，這個證明并不難。這一充分而且必要的條件今天也被稱作歐幾里得一歐拉定理。

至此，偶完美數的問題比較清晰了，其存在性歸結為梅森素數的判斷。又過了25年，65歲的歐拉此時早已返回俄國彼得堡。但他雙目失明了。他在助手的幫助下，竟然用心算找到了第8個完美數：

2 305 843 008 139 952 128。共19位（對應于p=31）。此時，距離上一個完美數的發現。已過去了184年。這也就是說，雖然17世紀被英國哲學家、數學家懷特海譽為“天才的世紀”，并且有多位偉大的數學家沉湎于完美數的問題，但仍然沒有找到哪怕一個新的完美數！

時光又流逝了一個多世紀，1883年，在俄國烏拉爾山以東（隸屬于亞洲），離葉卡捷琳堡250公里的一座小村莊里，56歲的東正教牧師普沃茨米找到了第9個完美數（共37位，對應于p=61）。不過，他的出生地是烏拉爾山西側的彼爾姆州（隸屬于歐洲）。

此前7年，即1876年，法國數學家盧卡斯從15歲開始，經過長達19年的努力，手工檢驗出M₁₂₇是素數（77位）！在隨后的四分之三個世紀里，M₁₂₇一直是人類所知的最大的素數，直到計算機時代來臨（所以，M₁₂₇可能永遠是手工驗算出來的最大的素數了）。

1911年和1914年，美國科羅拉多州的一位鐵路公司職員鮑威爾又發現了兩個新的（第10個和第11個）完美數，共54位和65位，對應于p=89和p=107。而盧卡斯找到的那個完美數依照大小是第12個。

鮑威爾有所不知的是，在他于加州小鎮去世的頭一天晚上，即1952年1月30日，加州大學伯克利分校的羅賓遜教授利用計算機，找到了另外兩個新的完美數（第13個和第14個），對應于p=521和p=607。當年，羅賓遜又找到了另外3個完美數。從那時起。完美數便進入了計算機時代，尋找完美數和梅森素數的競爭也變成計算機間的競爭了。