關于從傅里葉變換到拉普拉斯的變換

楊振平 李凈

【摘要】因為一些信號如單邊增長的指數信號等，則根本不存在傅里葉變換。另外，再求傅里葉反變換時，需要求從到區間的廣義積分。求這個積分往往是十分困難的，甚至是不可能的，所以需要引入一些特殊函數。

【關鍵詞】傅里葉變換 拉普拉斯變換 復頻域

一、引言

利用傅里葉變換只能求系統函數的零狀態響應，而不能求系統的零輸入響應。在需要求零輸入響應時，還得利用其它方法，例如經典的方法。由于傅里葉變換在工程上受到一些限制，所以現今在研究線性系統問題時引入了拉普拉斯變換。

二、傅里葉變換和拉普拉斯變換的意義

傅里葉變換簡單通俗的理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無章的信號中主要振動頻率的特點。而拉普拉斯變換是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，這種計算往往比直接在實數域中求出同樣的結果簡單的多。

三、從傅里葉變換到拉普拉斯變換

當函數 不滿足絕對可積條件時，可采取給 乘以因子 （ 為任意實常數）的辦法，這樣即得到一個新的時間函數 。若能根據函數 的具體性質，恰當的選取 的值，從而使當 時，函數 ，既滿足條件

則函數 即滿足絕對可積的條件了，因而它的傅里葉變換一定存在。可見因子 起著使函數 收斂的作用，故稱 為收斂因子。

設函數 滿足狄里赫利條件且絕對可積（這可通過恰當的選取σ的值來達到），根據 可以得到 ，在上式中， 是以 的形式出現的。令 ，s為一復數變量，稱為復頻率。 的單位為 ， 的單位為 。這樣上式變為 由于上式中的積分變量為t，故積分結果必為復變量s的函數，故應將 改寫成 ，即

復變函數 稱為時間函數 的單邊拉普拉斯變換。 稱為 的像函數， 稱為 的原函數。一般記為

符號 為一算子，表示對括號內的時間函數 進行拉普拉斯變換。利用 （t>0）或 可推導出 反變換的公式，即 對上式等式兩邊同時乘以 ，并考慮到 不是 的函數而可置于積分號內。于是得 由于上式中被積函數是 ，而積分變量卻是實變量 ，所以欲進行積分，必須進行變量代換。因 故 （ 因為任意實常數）故 且當 時， ；當 時， 。將以上這些式子帶入 中即得 （t>0）

或寫成 稱為拉普拉斯變換，可以已知的像函數 求與之對應的原函數 。一般記為 符號 為一算子，表示對括號內的像函數 進行拉普拉斯變換。式子 與 （t>0）或 構成拉普拉斯變換對，一般記為 或

若 不是因果信號，則拉普拉斯變換式 的積分下限應改寫為（ ），即 稱為雙邊拉普拉斯變換。因為一般常用信號均為因果信號（即有始信號），所以我們一般主要討論和應用單邊拉普拉斯變換。由上述可知，傅里葉變換是建立了信號的時域與頻域之間的關系，即 而拉普拉斯變換則是建立了信號的時域與復頻域之間的關系，即

復頻率平面是以復頻率 的實部 和虛部 為相互垂直的坐標軸而構成的平面，稱為復頻率平面，簡稱s平面，如下圖5-1所示。

復頻率平面（即s平面）上有三個區域： 軸以左的區域為左半開平面； 軸以右的區域為右半開平面； 軸本身也是一個區域，它是左半開平面與右半開平面的分界軸。故將s平面劃分為這樣的三個區域，為以后研究提供了很大的方便。

四、結論

在線性微分方程的已知輸入求輸出時，若系統穩定，且輸入信號的傅里葉變換存在，在零初始條件下（t<0，x（t），y（t）及各階導數為零），兩種方法求解結果相同，傅里葉變換同樣可用于對瞬時過程的求解。

【參考文獻】

[1]嚴晉強，機械工程測試技術，北京，機械工業出版社，1990

[2]關正毅，信號處理及信號變換，北京，清華大學出版社，1989

[3]鄭君里，信號與系統，高等教育出版社