例談平面法向量的應用

黃振東

【摘要】立體幾何是歷年來高考的必考題型之一，然而引入空間向量后，幾何已經趨于代數化，它把數形結合的數學思想發揮得淋漓盡致。本文作者借助幾個教學案例，談談平面法向量在解這類問題的方法，試圖用代數方法，去除繁雜的輔助線，探索出簡潔、容易入手的解題方法。

【關鍵詞】空間直角坐標系 平面法向量 距離 夾角

幾何發展的根本出路是代數化，引入向量研究幾何是幾何代數化的需要。大家知道，使用“形到形”的綜合推理方法學習立體幾何，對多數學生都是比較困難的，通過使用向量方法學習立體幾何，可使學生較牢固地掌握向量代數工具，從而豐富學生的思維結構和運用數學的能力。這樣做不僅不會增加學生的負擔，相反，由于學生掌握了一套有力的工具反而會降低學習的難度，減輕學生的負擔。因此在高中引進向量的代數方法是比較自然的，也是必要的。下面是我在教學中一些體驗，就是平面法向量在解決空間點、線、面的夾角和距離的應用。

一、在空間中求點到平面的距離

例：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是C1C，D1A1，AB的中點，求點A到平面EFG的距離。 z

分析：求點到平面的距離常見的有三種方法：一是 D1 C1

作出垂線段；二是用等積法；三是用向量的方法： F

設AP是平面α的一條斜線段，n是平面α的一 A1 B1 E

個法向量，則AP在n上射影的長就是點A到平 D C y

面α的距離（P為斜足），本題用向量法可謂直接

了當。 A G B

解： 如圖（1）以D為坐標原點建立空間直角坐標系 x （1）

D-xyz 。由正方體棱長為2知A（2，0，0）G（2，1，1）E（0，2，1）

F（1，0，2）則

設n=（x，y，z）是平面EFG的一個法向量，則

，

1. 求異面直線的距離

例：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2若M、N分別為DC，BB1中點，求異面直線MN與A1B間的距離。

分析：將MN與A1B的距離轉化為

的公共法向量上的射影長，勿須找公垂線段，

方法令人耳目一新。 （2）

解：如圖（2）以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz

因為M，N為CD，BB1中點

所以M（3，2，0），N（0，4，1）

2. 求線面夾角問題

例：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB= ，AA1=1，AD= ，E、F分別是AB，C1D1的中點，求直線A1B1與平面A1EF所成的角。

分析：本題可轉化為求向量 與面A1EF的

法向量所成的角再求其余角，而不必找線

面夾角的位置，可省去多條輔助線，

方法淺顯易懂。

解：如圖（3）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D-XYZ

1. 求二面角

例：正三棱錐ABC-A1B1C1中，底面邊長為a，在BB1上截取BD=a，在CC1上截取CE=a，求截面ADE和底面ABC所成角的大小。

分析：本題可轉化為求平面ADE與平

面ABC兩法向量的夾角（同時應判別該二面角

是鈍角或銳角，若夾角為0或 時，

平面ADE//平面ABC ），方法避免了尋找二

面角的平面角的繁雜過程，可謂簡潔方便。

（4）

解：如圖（4）以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，

以上是筆者對平面法向量在立體幾何中的幾點應用的看法，當然平面法向量的功能是強大的，在解決許多具體問題中發揮的很大的作用，希望讀者能提出更多好建議。勿庸置疑，向量法解立體幾何問題，并不是完美無缺，有時會發現它是一個較啰嗦的東西，對學生的空間想象能力是有礙的。因此我們在教學過程中對解題方法應權衡利弊，舍遠求近，去繁求簡，開闊學生的解題思路，增強學生解決實際問題的能力。

【參考文獻】：

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