一道幾何證明題引發的思考

胡興偉

【摘要】本題是教材中的一道練習題，學生通過做題發現此題有多種解法，同時結合我的教學實際突發感想，一題多解、一題多變是我們教學的重心，通過題目的各種變換訓練學生的思維，從而提高學生思考和分析問題的能力。本題介紹的六種方法從不同的角度來分析和看待問題，體現任何事物都具有多面性，不同的問題用同一種方法或者同一個問題用不同的方法這一辯證的思想，將其貫穿于我們的數學教學中。在這諸多方法中選擇哪種能讓學生更易理解，從不同的角度來訓練學生思考問題的能力，但有些方法需要高中的知識才能解答，所以此題與高中的知識聯系非常密切。

【關鍵詞】圖形 平行四邊形 向量 對角線

義務教育教科書《數學》八年級下冊P69復習題18，拓展探索第15題是一道幾何證明題且是一道證明命題的證明題。從這題中引發我許多思考，我首先想到的是該題有多少種解法，在這諸多方法中選擇哪種能讓學生更易理解，從不同的角度來訓練學生的思維，但有些方法需要高中的知識才能解答，所以此題與高中的知識聯系非常密切。題目如下：

15.求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。

已知：如圖，四邊形是平行四邊形，對角線與相交于點.

求證：

證法一：如圖1，過點作于點，

在平行四邊形中，設AD=a，AB=b，BD=m，AC=n，DE=h，AE=x，則分別有①，

②，

③，

由①×2=②+③，

化簡可得，

即

因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

證法二：如圖2，過點A作AF⊥BC，垂足為F，過點B作BE⊥BD，垂足為E.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB=CD，易證BE=AF，AE=BF，

∴，

∵

∴

即

因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

證法三：如圖3，過A，D兩點做BC邊的高，垂足分別為E、F

則易知△ABE≌△DCF，BE=CF，AE=DF

利用勾股定理得

所以

即

因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

證法四：如圖4，以頂點A為坐標原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則 A（0，0）.設B（a，0），D（b，c），由平行四邊形的性質得點 C的坐標為（a+b，c），因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

解析：余玄定理是高中的知識點，它可以幫助我們解決一些生活中的問題。相同的問題比用初中的知識來解更為簡單。

總之，一題多解、一題多變是我們教學的重心，通過題目的各種變換訓練學生的思維，從而提高學生思考和分析問題的能力。本題介紹的六種方法從不同的角度來分析和看待問題，體現任何事物都具有多面性，不同的問題用同一種方法或者同一個問題用不同的方法這一辯證的思想，將其貫穿于我們的數學教學中。

作者簡介：齊廷廷（1989-）女，黑龍江省大慶市，研究方向：中外政治制度