抽象函數(shù)定義域的解題策略

丁楊翔

【摘要】抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的一類函數(shù)，由于其抽象性，對(duì)定義域的求解讓多數(shù)學(xué)生難以理解并且無從下手，基于此，本文總結(jié)出兩句話作為解題策略，根據(jù)策略分析了抽象函數(shù)定義域問題的四種題型及相應(yīng)解題方法。

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù) 定義域 解題策略

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。在函數(shù)的三要素——定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則中，定義域和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的核心，而定義域又是研究函數(shù)的先決條件，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究必須建立在定義域的基礎(chǔ)上，因此，求解函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題中一項(xiàng)重要內(nèi)容[1]。

但在求函數(shù)定義域的問題中，抽象函數(shù)的定義域求解成為多數(shù)學(xué)生難以理解并且無從下手的一類題目。抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的一類函數(shù)，正是由于其抽象性常常讓學(xué)生感到迷惑。

對(duì)于求解抽象函數(shù)的定義域，只需要理解下面兩句話，所有問題都可以迎刃而解。

（1）函數(shù)定義域是指自變量的取值范圍。

（2）函數(shù)三要素中，相同對(duì)應(yīng)法則的作用范圍相同。

第一句話意味著無論是函數(shù)，，，給出函數(shù)的定義域，即是給出的取值范圍。第二句話意味著對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，在同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則的作用下，的取值范圍與的取值范圍是相同的，兩者等價(jià)，也就是說，兩個(gè)函數(shù)的值域相同（并不表示定義域相同）。

根據(jù)該解題策略，下面結(jié)合具體實(shí)例分析抽象函數(shù)定義域問題的四種題型及解題方法。

1 已知的定義域，求的定義域

解題方法：根據(jù)第二句話，相同對(duì)應(yīng)法則作用范圍相同，意味著的取值范圍與的取值范圍相同，兩者等價(jià)。再根據(jù)第一句話，求的定義域，就是求的取值范圍，則問題化為，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，即為的定義域。

例如，若的定義域?yàn)?，即，則等價(jià)于中，從中解得，即的定義域?yàn)椤?/p>

例1：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1，4]，求函數(shù)的定義域。

解：已知的定義域?yàn)閇1，4]，即中，

，解得，

∴函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，0]。

2 已知的定義域，求的定義域

解題方法：根據(jù)相同對(duì)應(yīng)法則作用范圍相同，意味著的取值范圍與的取值范圍相同，兩者等價(jià)。再根據(jù)第一句話，已知的定義域，就是已知的取值范圍，則問題化為，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，即為的定義域。

例如，若的定義域?yàn)?，即，可確定的取值范圍，則等價(jià)于中，即的定義域?yàn)椤?/p>

例2：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-l，2），求函數(shù)的定義域。

解：已知的定義域?yàn)閇-l，2），即，

，即等價(jià)于中，

∴函數(shù)的定義域?yàn)閇3，9）。

3 已知的定義域，求的定義域

題型3本質(zhì)上為題型1和題型2的綜合。

解題方法：根據(jù)第一句話，已知的定義域，就是已知的取值范圍，根據(jù)的取值范圍可確定的取值范圍。再根據(jù)第二句話相同對(duì)應(yīng)法則作用范圍相同，意味著的取值范圍與的取值范圍相同，兩者等價(jià)，則問題化為，根據(jù)的取值范圍求的取值范圍，即為的定義域。

例如，若的定義域?yàn)椋?，可確定的取值范圍，則等價(jià)于中，再根據(jù)的取值范圍求得，即的定義域?yàn)椤?/p>

例3：已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，求函數(shù)的定義域。

解：已知的定義域?yàn)閇-l，1]，即

，即等價(jià)于，

解得中，∴函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>

4 已知的定義域，求運(yùn)算型抽象函數(shù)的定義域

運(yùn)算型的抽象函數(shù)是指由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)，如，等。

解題方法：先根據(jù)題型1求出各個(gè)函數(shù)，的定義域，然后再求其交集。

例如，若的定義域?yàn)?，即，則等價(jià)于中和中，分別解得的取值范圍，其交集即為所求定義域。

例4：若的定義域?yàn)閇-5，3]，求函數(shù)和的定義域。

解：由的定義域?yàn)閇-5，3]，即中，

則中有，解得，

取交集得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椤?/p>

同理，的定義域也為。

總之，抽象函數(shù)定義域的求解問題一定要從本質(zhì)上弄明白，理解函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則，清楚解題策略，進(jìn)而根據(jù)對(duì)應(yīng)法則下的等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用不等式知識(shí)解決問題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]崔瓊珍.抽象型函數(shù)定義域求解研究[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2010，（10）：82-83.