基于變換映射的多關節機器人工作空間分析方法

許鈾 李杰浩

摘 要：多關節機器人在實際制造過程中往往呈非正交性，這為工作空間的精確描述增加了復雜性。該文提出了一種基于變幻映射的多關節機器人工作空間描述方法。通過分析不規則體在某一平面上的變換映射，可以獲得不規則體繞空間某一旋轉軸旋轉時的截面邊界，利用該方式可以逐級求解多關節機器人的工作空間。對第一關節最大旋轉角度達到2π的兩自由度空間機器人工作空間進行了研究，利用變換映射的方法可以獲得兩自由度空間機器人工作空間截面。在兩自由度機器人工作空間基礎上采用變換映射以及集合的方式對第二關節最大旋轉角度超過2π的三自由度空間機器人工作空間進行了描述。并且通過仿真實驗證明該方法能有效、精確和快速地描述兩、三自由度空間機器人的工作空間，對實際多關節機器人工作空間的分析有一定的參考價值。

關鍵詞：多關節機器人 工作空間 變換映射

中圖分類號：TH115 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）05（c）-0087-03

多關節機器人是一種典型的工業機器人，被廣泛應用于工業領域[1-3]。在工作過程中，機器人工作空間大小決定了機器人的活動范圍，是衡量機器人工作能力的一個重要的運動學指標。工作空間的研究方法大致可以分為三種：（1）幾何繪圖法；（2）解析法；（3）數值法。

幾何繪圖法得到的一般是工作空間的各類剖切面或剖切線。它直觀性強，可以顯示可達點出操作臂的位姿特征。針對多自由度空間機器人應用圖解法，可將其關節進行分解成若干個部分。文獻[4]對旋轉軸中心點到旋轉體的最大值和最小值進行了定義，提出了在一個體空間內，繞某一軸所成的空間內任意一點的距離在某一軸到該體空間的距離最大值和最小值之間，并且對理想的IOR外科手術機器人的工作空間進行了描述。文獻[5]采用幾何繪圖法對理想IRB1600D型六自由度弧焊工業機器人的工作空間進行了描述，得到了機器人的工作空間剖面圖。該方法對于簡單的結構表達簡單、可視化，但是對復雜的結構，表達較為困難。

解析法也是工作空間分析中常用的一種方法。常采用雅克比矩陣降秩（Rank deficiency）時的特征加以分析。文獻[6]將某一坐標系上的空間點的位置進行了定義，當該空間沿著另一坐標系的某一點旋轉或者平移，會產生一個新的“掃描體”（Swept volumes），該“掃描體”上點的位置可以用矩陣方程表示。文獻[7]通過雅克比矩陣降秩對掃描體方程進行轉化從而確定邊界曲線/曲面的表達式。該方法可以用于復雜結構的空間描述，但是分析過程比較復雜，計算量較大。

數值法主要是采用沿拓或者概率統計的方法。沿拓方法[8-9]是一種基于優化求極值的方法，但是該方法并不直觀，而且在優化過程可能出現一定的誤差；概率分布統計的方法主要是通過關節變量空間與操作空間的映射關系，將一定數量的關節變量通過蒙特卡羅的方法分布映射到工作空間當中，再通過統計的方式得到工作空間的邊界曲線，如文獻[10]對三維機器人工作空間進行了分析，這種方法雖然易于理解和應用，但是無法一次性求得工作空間的邊界點，而且還會產生空間內部大量的數據點，還需對工作空間內部數據進行處理，運算量較大。

為了避免描述工作空間時產生大量的數據、提高計算效率，文中采用變換映射的方式來描述多關節機器人工作空間，并且采用該方式對第一關節最大旋轉角度為360°的兩自由度、第二關節最大旋轉角度為360°的三自由度空間機器人工作空間進行了描述。

1 旋轉變換映射模型

求解某一不規則空間繞著某一旋轉軸旋轉所成的一個新的空間是求解多關節機器人工作空間經常遇到的問題。如果知道不規則空間繞旋轉軸旋轉時所成的截面曲線表達式，那么往往只需要求解不規則空間在旋轉軸旋轉的始末端的空間，以及由截面曲線沿著旋轉軸旋轉包圍所成的空間。其中，求解不規則空間繞旋轉軸旋轉時截面曲線表達式，是該問題求解一個關鍵點。如圖1所示，經過旋轉軸做一平面γ，不規則空間上某一點P，其在該平面內的投影P的坐標為（xP，yP），可以求得點經旋轉軸旋轉后在平面內的軌跡P的坐標為 （xP，yP）：

（1）

因此，通過式（1）可以計算不規則空間表面上任何一點在旋轉面γ上的位置，進而獲得不規則空間繞旋轉軸旋轉時的截面數據。由此可以構建不規則空間相對旋轉面的變換映射關系。

對于第一關節最大旋轉角度為360°的兩自由度、第二關節最大旋轉角度為360°的三自由度空間機器人，該方法在可以令其工作空間的求解得以簡化，提高工作空間的求解效率。本文章節2將利用該方法分別對兩自由度、三自由度空間機器人工作空間的求解進行詳細的討論。

2 兩自由度、三自由度空間機器人工作空間求解模型

2.1 兩自由度空間機器人工作空間求解模型

兩自由度空間機器人示意圖如圖2所示，桿件OiP能繞著點Oi旋轉，桿件OiOi-1繞著軸Oi-1Os旋轉，軸OiOi-1與軸Oi-1Os之間的距離為Δk，|OiP|=Li，兩旋轉軸之間的夾角為ai，假設桿件OiP繞著軸OiOi-1旋轉到最高端的位置為Ph，作OiP的旋轉平面OiPhPs與平面OiOi-1Os之間的交點為Ps。

如圖3所示，假設旋轉軸OiOi-1的最大旋轉角度為θai+Δθ1i+Δθ2i，其中，θai根據最高點Ph兩端對稱，Δθ1i、Δθ2i分別為兩端不對稱的角度偏移量。

以Oi-1為原點、Oi-1Os為Z軸建立柱坐標系Oi-1-RZθ i-1，可以通過本文第1章所闡述的方法求解兩自由度空間機器人的工作空間截面表達式f（ri，zi），即桿件OiPs繞軸OiOi-1旋轉時在面OiOi-1Os上所產生的投影。

2.2 三自由度空間機器人工作空間求解模型

在求解三自由度空間機器人的時候，可以如圖4所示先求解后面兩個關節所成的工作空間，利用變換映射的方法求解后面兩個關節所成的工作空間繞第一關節旋轉得到的運動軌跡截面，再同后兩個自由度工作空間在第一關節始末位置所成的空間進行并集運算，即構成了三自由度機器人工作空間V3space。

一般地，三自由度空間機器人最后一個關節的角度最大旋轉角度小于π。因此在求解后兩個關節的工作空間時，根據兩個旋轉軸之間的距離Δki和夾角|ai|進行分類討論，進而求解三自由度機器人后兩個關節工作空間繞著第一關節旋轉所成的空間截面表達式S（r1，Z1），再通過變換映射的方法獲得三自由度空間機器人工作空間V3space。

3 實驗研究

為驗證算法的可行性，分別對一個三自由度的空間機器人進行了仿真，其每個關節零位時的構型如圖5所示，DH參數值如表1所示。

采用本文的方法在Matlab上對其工作空間進行仿真。可以獲得第三關節的工作空間曲線在第一關節柱坐標系下RZ平面的投影如圖6所示。

根據上述方法，第三、第二關節所產生的工作空間V2space如圖7所示。

V2space在第一旋轉軸始末位置（θ1=0以及θ1=150°時）的空間在Matlab上顯示如圖8所示。

根據本文算法，三自由度機器人工作空間V3space的描述如圖9所示。

通過實驗表明，根據本文的方法，可以精確、快速地獲得二自由度、三自由度空間機器人的工作空間。

4 結語

該文描述了不規則體繞空間某一旋轉軸旋轉時，不規則體表面上任一點在旋轉面上的變換映射關系。通過該方法，對第一關節最大旋轉角度超過2π的二自由度空間機器人的工作空間截面曲線進行了表達。針對第二關節最大旋轉角度超過2π的三自由度空間機器人，在二自由度空間機器人工作空間的基礎上，結合變換映射以及集合的方法，對其工作空間進行了表達。通過試驗表明，該方法計算量少，能準確、快速地描述二、三自由度空間機器人的工作空間，可以為實際機器人的操作、設計提供一定的參考。

參考文獻

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