基于奇異值分解的非帶限信號采樣算法

許月興

【摘要】 本文借助奇異值分解技術，研究了對狄拉克流這類特殊非帶限信號的采樣與重建算法。先對信號的采樣點進行離散傅里葉變換，并用生成的系數形成Hankel矩陣，然后對Hankel矩陣進行奇異值分解，求取狄拉克流的位置信息，再解范德蒙方程組求得狄拉克流的權信息，重建出原信號。該算法具有計算量小、信號恢復精確率高和抗噪聲能力強的特點。

【關鍵詞】 奇異值分解 非帶限信號 狄拉克流 采樣 重建

狄拉克流信號是數字通信中經常會用到的一種非帶限信號[1]，本文以該信號為例，從空間變換的角度研究了一種基于奇異值分解的非帶限信號采樣算法，該算法在處理狄拉克流及其相關的一類非帶限信號時是非常有效的，并具有計算量小、信號恢復精確率高和抗噪聲能力強等特點。

一、 奇異值分解

奇異值分解是線性代數中非常重要的一種矩陣分解。該理論的誕生已經有百余年的歷史，隨著信息工程的需求和計算機技術發展，它被廣泛地應用到統計分析、信號與圖像處理、系統理論和控制等領域中[2]。

二、基于奇異值分解的非帶限信號采樣算法

下面通過對一種非帶限信號——周期狄拉克流的分析來推導基于奇異值分解的非帶限信號采樣算法。

設x（t）是周期為τ的狄拉克流信號，其表達式為：

（1）

式中Ck為狄拉克流的權值，tk為狄拉克流的位置，則x（t）的傅里葉變換為

=， （2）

式中。

對該狄拉克流信號x（t），取作為采樣核，經過采樣核后得到采樣值yn，n=0，1，...，N-1，則采樣值yn是原信號x（t）的一個充分的描述。

利用yn重建原信號x（t）的過程如下。

（1）通過yn確定x（t）的傅里葉變換X[m]，|m|≤M；

（3）

式中HB是hB（t）的傅里葉變換。

（2）利用X[m]構建Hankel矩陣X，然后對其進行奇異值分解，求得狄拉克流的K個位置信息；

利用X[m]構建一個P×Q（P，Q ≥ K）維的Hankel矩陣X，矩陣X的秩為rank（X）=K，因此通過對Hankel矩陣X的秩的判別，可以確定出每周期內狄拉克流信號的個數K。

根據奇異值分解的理論，X可以被分解成如下形式

（4）

其中US、SS和VS是矩陣X的K個最大奇異值分解三對組陣，它們包含了有用信號的主要信息；Un、Sn和Vn是矩陣X的小奇異值分解三對組陣，對于含有噪聲的信號，其加性噪聲主要集中在這些小奇異值項上。

假設φ=diag（Zk）k×k，φh=φH，顯然矩陣US和VS都滿足平移不變空間特性，即

， （5）

其中和分別為矩陣刪掉第一行和最后一行剩余的矩陣，由和（或和）可確定的K個特征值Zk，從而得到狄拉克流信號的K個位置信息。

（3）求取狄拉克流的K個權值。

求得后，將其代入（2）式可得一范德蒙方程，解該方程，即可求得狄拉克流信號的K個權值。將和代入（1）式，原狄拉克流信號x（t）就可以被準確重建。

三、結論

本文以周期狄拉克流信號為例，研究了一種基于奇異值分解的非帶限信號采樣與重建算法。它突破了Shannon采樣定理中Nyquist率的限制，是傳統采樣定理的一個非常有益的補充，在寬帶通信領域尤其是超寬帶通信中有著廣闊的應用前景。