一題多變 立足基礎

潘益娟

摘 要：一次函數是初中學生學習函數的第一個階段，其基礎性和重要性不言而喻，中考對函數的考查屬重頭戲，對一次函數的考查十分關注.通過一題多變把一次函數的有關基礎知識橫縱向聯系，把以前學習的方程（組）、不等式（組）等統一起來認識，逐步達到新舊知識的融會貫通，從而進一步體會一次函數的重要性，通過一題多變能更全面、更快捷地掌握知識和技能.

關鍵詞：一次函數；一題多變；輕負高質

一次函數是初中函數的一個重點，也是近幾年中考的熱點，很多學生剛涉及函數會覺得它抽象、枯燥無味，所以培養學生學習函數的興趣是取得成功的前提.而多進行一些函數一題多變訓練是培養學生學習函數興趣的重要途徑之一.我們不能讓學生沉浸于“題海戰術”，一個原因是花費時間，且加重了學生的學業負擔；另一個原因是重復低效，這樣大部分學生的思維就會變得狹隘，學習起來就只能是知其一，不知其二，不懂變通，只要題目稍有變化就會感到很迷茫，不知怎么下手解答.所以一定要精選題目，特別是那些一題多變題，通過一題多變題的訓練可以使所學的知識緊密聯系在一起，進而達到解一道通一類，類型做多了，以后遇到相似的題目就會有熟悉感，解題方法、思路就清晰了，深入分析就可以做到舉一反三，觸類旁通，從而激發學生學習數學的興趣和求知欲，培養他們的創新意識和創新能力.

一題多變一般指的是變條件、變結論、或引申、拓展、改編等.一題多變題類型很多，舉不勝舉，現就以“一次函數y=（2m-1）x+3-m”為例，了解怎樣用一題的變式概括一次函數的基礎知識點.

例題：已知函數y=（2m-1）x+3-m是一次函數，求m的取值范圍.

分析：此題考查了一次函數的定義：一次函數y=kx+b中比例系數k≠0.即2m-1≠0，解得：m≠0.5.

變式1：已知函數y=（2m-1）x+3-m是正比例函數，求m的值.

分析：本題考查的是正比例函數與一次函數的區別與聯系.正比例函數中比例系數k≠0，b=0，則由3- m=0，解得m=3. （注意：正比例函數是特殊的一次函數）

上面變式小結：一次函數解析式y=kx+b中的比例系數k≠0千萬不能忽視，如果k=0，那么y=b就不是一次函數.當k≠0，b=0 時，函數y=kx是正比例函數，它是特殊的一次函數.

變式2：已知一次函數y=（2m-1）x+3-m的圖象過點（1，1），求m的值.

分析：此題考查一次函數解析式與點的坐標之間的對應關系.圖象過點（1，1）相當于當x=1時，y=1.即（2m-1）×1+3-m =1，解得m=-1.

變式3： 已知一次函數y=（2m-1）x+3-m的圖像上有A（a，b），B（c，d）兩不同點，且當a>c時，有b>d；求m的取值范圍.

分析：此題考查了一次函數y=kx+b圖象的增減性：當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小.由題目已知當a>c時，b>d，說明函數值y隨x的增大而增大，即2m-1>0，解得m>0.5.

變式4：已知一次函數y=（2m-1）x+3-m圖象經過一、二、三象限，求m的取值范圍.

分析：此題考查的是一次函數的圖象性質.一次函數y=kx+b中當k>0時，一次函數的圖象經過一、三象限，當k<0時，一次函數的圖象經過二、四象限；當b>0時，一次函數的圖象經過一、二象限，當b<0時，一次函數的圖象經過三、四象限.

圖象經過一、二、三象限說明k>0，b>0. 這樣就將問題轉化為解關于m的不等式組.從而解得0.5

再變式4：已知一次函數y=（2m-1）x+3-m圖象不經過第四象限，求m的取值范圍.

分析：此題咋一看跟上題一樣，其實蘊含了“玄機”，學生很容易“栽跟頭”.圖象不經過第四象限，說明圖象不但除了可能會經過一、二、三象限外，還隱含一種情況：圖象只經過一、三象限，因為我們知道正比例函數也是特殊的一次函數，所以應該是

k>0，b≥0，即2m-1>0，3-m≥0，解得0.5

變式5：已知一次函數y=（2m-1）x+3-m的圖象與y軸交于負半軸，求m的取值范圍.

分析：此題考查了一次函數的圖象與y軸的交點問題.與y軸的交點在負半軸，說明當x=0時，y< 0.即3-m< 0，解得m>3.

再變式5：已知一次函數y=（2m-1）x+3-m的圖象與y軸交于點P，且點P到原點O的距離|OP|=2，求m的值.

分析：此題考查一次函數的圖象與y軸的交點問題和兩點間的距離問題.與y軸交于點P，則點P的坐標為（0，3-m），|OP|=2，說明|3-m|=2，即解得m=1或5.

上面變式總結：一次函數y=kx+b（k≠0）中，k的符號決定函數圖像的增減性，b的符號決定直線與y軸的交點位置.對于函數圖像過哪幾個象限則跟k、b的符號都有關.

變式6：已知一次函數y=（2m-1）x+3-m的圖象與直線y=-3x在同一坐標系上沒有交點，求m的值.

分析：此題考查了在同一坐標系上兩直線的位置關系和兩直線平行所需的條件.在同一坐標系上沒有交點，說明這兩條直線是互相平行的；兩直線平行只需一次函數中的比例系數相等，即2m-1=-3，解得m=-1.

再變式6：上題條件不變，則一次函數y=（2m-1）x+3-m的圖象如何由直線y=-3x平移得到？

分析：此題考查了函數圖象平移的有關性質.“左加右減，上加下減”是我們學習直線平移的“通語”，由上題可知m=-1，所以y=-3x+4，這樣就可得該圖象是由直線y=-3x向上平移4個單位而得到的.

上面變式小結：直線y1= k1x+b1（k1≠0）與直線y2=k 2x+b2（k2≠0），當k1=k2，b1≠b2時，它們的圖像是平行關系的，可互相通過平移得到.

變式7：直線y1=（2m-1）x+3-m與直線y2=-2x+5交于點 （1，a）.

（1）求a和m的值；

（2）不解關于x，y的方程組y=（2m-1）x+3-my=-2x+5，請直接寫出它的解；

（3）根據圖象直接寫出解關于x的不等式（2m-1）x+3-m≥-2x+5的解集；

（4）求兩直線與x軸圍成的三角形的面積.

分析：此題考查了一次函數與二元一次方程組、不等式（組）之間的聯系.

（1）兩直線交點的意義：點 （1，a）不但滿足y=-2x+5，而且滿足y=（2m-1）x+3-m，則可求出a=3，m=1；

（2）用函數觀點解二元一次方程組：即根據交點坐標就可以寫出方程組的解；

（3）利用函數圖象解不等式：學習一次函數一般可利用數形結合的思想，即根據圖象可得該不等式的解集是x≥1；

（4）一次函數的圖象與x軸的交點問題、點的坐標與線段長之間的關系：兩直線與x軸的交點分別是（-2 ，0），（2.5 ，0），它們間的距離是2.5-（-2）=4.5，然后根據三角形的面積公式可得它們所圍成的面積為6.75.

上面方法小結：把一次函數求交點問題轉化成解關于方程（組）、不等式（組）的問題，其實是將數學中的“形”的問題轉化為“數”的問題，體現了數學數形的結合思想.比如對二元一次方程組而言，從“數”的角度來看，由二元一次方程組的解可確定兩函數直線的交點坐標；從“形”的角度來看，由兩條直線的交點坐標可確定二元一次方程組的解.

總之，通過對一次函數y=（2m-1）x+3-m進行多角度變式，既拓寬了學生的視野，又調動了學生的好奇心和求知欲，讓學生從不同角度、不同方向加深了對一次函數基礎知識的掌握，也使得讓學生更全面、更快捷地掌握知識和技能，也真正達到“輕負高質”的目的.