多邊形的內角和的探究

陳慧

【摘要】 本文測量和推理證明了三角形的內角和的問題，并以三角形的內角和是180°這一結論為依據，得出了四邊形的內角和是360°，進而推出多邊形內角和為（N - 2） × 180°的結論.

【關鍵詞】 多邊形；內角和

在和同學們一起學習了人教版初中數學第十一章后，我想和大家一起探究多邊形的內角和.

1. 三角形的內角和

我們已經知道：三角形的內角和是180°. 可是你能說明為什么嗎？我和同學們一起動手任意的畫了很多三角形.

經過我們的測量發現每個三角形的內角和都約等于180°. 可是這個理由不能作為我們的結論“三角形的內角和是180°”的科學依據. 于是我們思考能不能用我們已有的知識來證明這個結論？

已知：如圖，在△ABC中，求證：∠A + ∠B + ∠C = 180°.

證法1：延長BC到CD，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作∠1 = ∠A，于是CE∥BA （內錯角相等，兩直線平行）.

∴ ∠B = ∠2 （兩直線平行，同位角相等）.

又∵∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°

∴∠A + ∠B + ∠ACB = 180°

證法2：延長BC到D，過C作CE∥BA，∴ ∠A = ∠1（兩直線平行，內錯角相等）

∠B = ∠2（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180°

∴ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°

證法3：過A作EF∥BA，

∴∠B = ∠2 （兩直線平行，內錯角相等）

∠C = ∠1 （兩直線平行，內錯角相等）

又∵∠2 + ∠1 + ∠BAC = 180°

∴∠B + ∠C + ∠BAC = 180°

證法4：過A作AE∥BC，

∴ ∠B = ∠BAE （兩直線平行，內錯角相等）

∠EAB + ∠BAC + ∠C = 180° （兩直線平行，同旁內角互補）

∴∠B + ∠C + ∠BAC = 180°

于是，我們得到三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.

2. 四邊形的內角和

既然我們已經知道三角形的內角和是一個定值180°，那么四邊形的內角和是多少度？也會是一個定值嗎？

我們知道正方形，長方形的四個角都是90°，故正方形、長方形的內角和都是4 × 90° = 360°，梯形的內角和也是360°.

已知：梯形ABCD，AB∥CD

求證：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

證明：∵AB∥CD ，∴∠A + ∠D = 180°.

∠B + ∠C = 180°（兩直線平行，同旁內角互補）

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

于是，我們猜想四邊形的內角和也是一個定值，四邊形的內角和等于360°. 你能證明嗎？

我們利用三角形的內角和定理來證明四邊形的內角和等于360°.

已知：如圖，四邊形ABCD.

求證：∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

證明：連接BD.

在△ABD和△CBD中，∵∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°

∠C + ∠CBD + ∠CDB = 180°，而∠A + ∠ABC + ∠C + ∠ADC = ∠A + ∠ABD + ∠ADB + ∠C + ∠CBD + ∠CDB = 180 × 2 = 360°.

∴四邊形的內角和是360°.

3. 五邊形的內角和

類比前面的過程，你能探索出五邊形的內角和是多少度嗎？

五邊形從一個頂點可以引出2條對角線，將五邊形分割成3個三角形，而這3個三角形的內角和正好是五邊形的內角和所以我們得出五邊形的內角和是3 × 180° = 540 °.

下面我們思考一個n邊形從一個頂點可以引出幾條對角線？我們知道對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，n邊形有n個頂點，從一個頂點出發，故剩余n - 1個頂點，再減去和它相鄰的2個頂點，就剩余n - 3個頂點，所以可以作出n - 3條對角線，此時正好可以將n邊形分割成為（n - 2）個三角形.

4. 六邊形的內角和

有以上規律，我們知道六邊形從一個頂點可以引出6 - 3條對角線，將六邊形分割成6 - 2個三角形，所以六邊形的內角和就是（6 - 2） × 180° = 640°.

……

以上我們通過從多邊形的一個頂點出發作對角線將多邊形分割成幾個三角形，從而探究出多邊形的內角和.

我們可以歸納出多邊形的內角和與邊數的關系：（n - 2） × 180°.