代數式是高級語言

王翔

【摘要】 代數式是人們為了表示數量而創設的一種高級的語言工具，它代替具體數值表示不確定的數量，所以應該看成 結果；它產生于算理，又可以看作算式. 它是語言，就應該簡潔，所以它的運算其實就是化簡，它的約定俗成應該合理有序. 明確代數式的語言屬性便于學生更好地理解掌握.

【關鍵詞】 語言；結果；算式；運算；化簡

代數式是一種實用、簡潔的高級數學語言，是人類認識世界、改造世界必備的工具. 代數式，顧名思義：代替數的式子，就是用它代替具體數值去表示數量，既然是代替具體數值來表示數量的，那么就應該理解為結果；而從其由來說：代數式是由運算符號串接得到的，所以它又可以看成是算式. 綜上可見：代數式具有“結果”“算式”的雙重性. 正是這種“雙重性”，使得代數式能夠用已知代替未知、用具體代替抽象、用特殊代替一般、用有限代替無限. 即是說：它可以無所不能地表示任意的數量. 從這一意義講：代數式是人類文明發展進程中產生的一種特定的語言文化.

既然代數式有如此的重要性，那么怎樣才能更好地理解、掌握并運用它呢？

一、依據代數式的“雙重性”，切實把握“代數和”的內涵

為了準確地表示“相反意義的量”，人們引入了負數，引入負數以后，減法可以轉化為加法，加減法就辯證地統一成了加法，這樣使數量的表示更為簡潔了，也就導致了具備“代數和”形式的代數式成為一類較為特殊、多見的代數式，對于這類代數式，一定要從“結果”“算式”兩個方面去理解、把握，才能真正輕松地掌握它：“和”是加法運算的結果，把加法“算式”中的加號省略，就把它“同化”成了“結果”. 先看最為特殊的，“有理數加減混合運算”的算式，如：-3 + 2 - 5 + 4 + 8 - 9 - 6，把它看成算式時，可讀作“負3加2減5加4加8減9減6”；而理解為結果時，就應該讀作“-3，+2，-5，+4，+8，-9，-6的和”. 這里不妨先按“結果”來理解，明顯看出其中的負數有：-3，-5，-9，-6，其余的都是正數，再運用運算律，把負、正數分別結合（最好把負數結合放在前面）：-（3 + 5 + 9 + 6） + （2 + 4 + 8） = -23 + 16 = -7，對于帶有括號的加減混合運算的算式，可以通過“轉”（化“減”為“加”）“省”（省掉加號）“同化”成“代數和”的形式，若這樣處理并把它固化成一種特定模式，學生再處理此類問題時，就會感覺思路清晰、操作步驟明了、簡單. 推而廣之：多項式也就是“同化”后的“代數和”.

二、依據代數式的由來、結構，準確把握代數式的科學分類

代數式是用運算符號把數和表示數的字母連接而成的式子，在所有的這些式子中，又以乘號連接的式子最為簡短.特別地，乘號還可以省略，故把數和字母的乘積（直接“同化”為結果）組成的式子稱為單項式，積（不說算式）中的數字因數稱為它的“系數”，所有字母因數的指數和稱為它的“次數”. 整式中的另一類——多項式（且看成加、減號連接的吧），是幾個單項式的和，關鍵是要按“代數和”去理解（上文已提到），當把多項式解讀為若干單項式的“和”時，能夠十分清楚地看出：多項式的每個項、特別是每項的符號、每項的次數、整個多項式的次數.

再有除號連接的，有的是單項式，有的卻是分式，分式最根本的特點：分母中含有字母.

最后還有根式，初中階段主要是二次根式，它屬于無理式；整式、分式統稱為有理式.

三、從代數式的語言屬性，透徹把握代數式運算的本質內涵

代數式既然是表示數量的語言，其本質特征就應該是簡約、明了，這一屬性就決定了代數式運算的實質：對代數式進行整理、化簡，最終把它處理成最為簡約明了的結果.

乘方，一種特殊的運算，求幾個相同因數積的運算. an也是一個代數式，不能繼續化簡時，它就是最簡結果，此時應該讀作：“a的n次冪”，表示n個a相乘的結果：而需要繼續化簡時，就把它看作算式，此時應讀作：“a的n次方”，表示n個a相乘，在處理具體題目時，先看成冪確定符號；而確定絕對值時又看作算式：用乘法去計算冪的絕對值.

再分門別類說說一般代數式的運算吧：

（一）整式的加減

整式包括單項式和多項式，整式的加減運算，先按加減的意義列出算式，此時要注意：多項式必須要用括號“包”起來，再通過去括號，把它“同化”成一個形式上的大“多項式”，該大“多項式”能否進一步化簡，關鍵看其中有沒有同類項，有，合并化簡；沒有，直接看作結果. 可見，整式加減的實質：先“同化”為大“多項式”，再合并同類項，使結果最為簡約明了；沒有同類項的，整理“同化”成的多項式就是最簡結果.

（二）整式的乘法

1. “單項式乘單項式”，系數和字母因數分別相乘，特殊的“單項式自乘”，書中定義為“積的乘方”，感覺不如直接定義為“單項式乘方”，這樣便于強調：系數、各字母因數分別乘方.

2. “單項式乘多項式”、“多項式乘多項式”都是利用分配律，把它們轉化為“單項式乘單項式”. 由此可見：“單項式乘單項式”是整式乘法的基礎.

3. 乘法公式 特殊的多項式乘多項式

（1）平方差公式：（a + b）（a - b） = a2 - b2，

（2）完全平方公式：（a±b）2 = a2 ± 2ab + b2，從公式的結構形式可以看出，它們都是以“結果”的形式來命名的，這會使人感覺很別扭，因為幾乎所有的公式變形都是以“初始形式”來命名的，另外，還會與“因式分解”中的相關公式相混淆：一個公式變形的兩個不同方向叫同一個名稱，表述確實方便了，但在學生沒有十分明確變形的目的時，該選擇公式的哪個方向，對于他們來說確實是十分懵懂而難辨的. 反之，如果能從變形的不同方向依據“初始形式”分別命名，學生在理解、掌握、運用時自然要清晰自如得多.

那么到底該怎樣分別命名會更好呢？不妨把a2 - b2 = （a + b）（a - b）從“初始形式”就叫做“平方差公式”，而把（a + b）（a - b） = a2 - b2從“初始形式”叫做“同異公式”：兩個項數相同的多項式相乘，一部分項完全相同，一部分項符號相異、絕對值相同（不止兩項的也可以具此特征來構造成“同、異”的形式），其結果等于：相同部分的平方減去相異部分的平方.

類似地：直接把a2 ± 2ab + b2=（a ± b）2依“初始形式”命名為“完全平方公式”，而把（a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2依“初始形式”稱為“多項式平方”. 確定命名為“多項式平方”有諸多好處；首先，依“初始形式”定義，符合數學規律，使人感覺順暢、自然；其次，從不同方向分別命名，讓學生掌握起來清晰且簡單；再次，非常貼合多項式的意義，不論括號內是加、減號連接的，其實都是多項式；最后，括號內的項數還可以不受限制，當多于兩項時敘述為：多項式平方等于：多項式中每一項的平方和，再加上它們兩兩乘積的二倍（此時，一定要弄清楚多項式中每一項的符號哦）.

（三）分式的有關運算

分式本質上是整式相除的產物. “整式除以整式”，結果有兩種可能：整除，結果是整式；不能整除，結果就是分式. 既是結果應該最簡吧，怎樣才能達到最簡呢？約去公因式唄，而要找出公因式，前提是要把多項式化為整式的乘積（只有相乘才有“因”式呀）. 由此可見；分式運算有個基礎技能—分解因式.

關于分解因式，首先要明確它的目的：為化簡找公因式而做的必要的變形（是以退為進的操作）；其次要明確它的本質：把一多項式化為若干整式的乘積（化“和”成“積”）；再次明晰它的操作步驟：一“提”二“套”，提公因式實際是“單項式乘多項式”的逆變形；套公式上文已提及不再展開.

1. 分式的乘除 分式間再乘除，遇“除”化“乘”，統一成乘法，再約去公因式，當遇有多項式時，要先分解才能確定公因式，然后分子、分母分別相乘.

2. 分式的加減，類比分數的加減，只是要特別注意其中“因式”的處理，公約數不分解可直接看出，公因式必須要分解才能看到.

（四）二次根式的有關運算

還是先說一種特殊的運算—開方：求方根的運算叫做“開方”，開方得到的結果叫做“方根”. 顯見，這里的“開方”和“方根”采用的是循環式定義，這本身是不科學的，但揭示了它們之間的依存關系：開方是一種求方根的運算；方根是開方得來的結果.

開平方求得的是平方根，開立方得到的是立方根，立方根的規律非常簡單：每個實數都只有一個與之同號的立方根，反過來可以說，每個實數都可以開立方；而平方根卻要復雜得多：負數沒有平方根，零有一個平方根是它本身，正數有兩個互為相反的平方根（零的平方根和正數的正平方根又叫做算術平方根），從開方的角度說，負數不能開平方，正數開平方有兩個結果.

二次根式：

（2）二次根式的加減 先利用（5）（6）兩式化為最簡，再合并同類的二次根式（類似多項式的合并同類項），把結果整成最簡約.

代數式是語言，語言自有其科學規范性，代數式的科學規范性體現在它合理有序的約定俗成，像上文對“單項式乘方”、“同異公式”、“多項式平方”的命名，應該會使它的體系更合理有序吧，既然代數式是約定俗成，那么像“代數式是語言”、“代數式的雙重性”“代數式算式到結果的同化”、“代數式運算是整理化簡”等等，就應該把它們作為約定直白地告訴學生，這對他們掌握代數式這一特定語言大有裨益.