改進(jìn)灰色模型及其在變形預(yù)測中的應(yīng)用

吳國昊 何川

摘 要：文章介紹了常用的變形預(yù)測[1]模型：GM （1，1） 模型[2]（即灰色模型），考慮背景值[3]對模型精度的影響。對其進(jìn)行改進(jìn)，獲得PGM（1，1）模型[4]。并通過編程加以實(shí)現(xiàn)。且通過實(shí)例比較，證明PGM（1，1）模型的預(yù)測效果更好。

關(guān)鍵詞：變形預(yù)測；灰色模型；背景值；加權(quán)灰色模型

1 概述

變形是指各種荷載作用于變形體，使其形狀、大小及位置在時(shí)間域或空間域發(fā)生的變化。變形預(yù)測就是根據(jù)對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行后期處理，來揭示變形監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，以建立動(dòng)態(tài)預(yù)測模型，反映變形特征，推斷變化趨勢，進(jìn)而建立起正確的變形預(yù)報(bào)理論和方法[1]。由于灰色理論解決復(fù)雜系統(tǒng)的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，故而灰色模型在變形預(yù)測多有應(yīng)用[5]。

2 改進(jìn)灰色模型

2.1 GM（1，1）模型的建立

在灰色系統(tǒng)理論[2]中，利用較少的或不確切的表示灰色系統(tǒng)行為特征的原始數(shù)據(jù)序列作生成變換（如累加、累減）后建立的，用以描述灰色系統(tǒng)內(nèi)部事物連續(xù)變化過程或其規(guī)律的模型，稱為灰色模型，簡稱GM模型。GM（1，1）模型是1階的，1個(gè)變量的微分方程型模型，是灰色預(yù)測的典型模型。GM（1，1）模型具體建立步驟如下：

（1） 設(shè)有原始等時(shí)間的數(shù)列 ，其中n表示觀測次序（t=1，2，…，n），對原始數(shù)據(jù)列中各時(shí)刻的數(shù)據(jù)依次累加，

得新的序列： 其中： （1）

累減生成： （2）

累減生成用于根據(jù)預(yù)測的數(shù)列還原出我們所需要的數(shù)列。

GM（1，1）模型的微分方程構(gòu)成形式為： （3）

式中a，b為待識(shí)別的模型灰參數(shù)，對于變形系統(tǒng)來說，a為發(fā)展系數(shù)，反映變形發(fā)展態(tài)勢，b為灰作用量。

（2）確定數(shù)據(jù)矩陣B、Yn：

（4）

（3）求解參數(shù)列，可用最小二乘法解算：

（5）

（4）代入（3）得：

（6）

（5）作累減生成得：

（7）

式（6）和（7）即為灰色預(yù)測的兩個(gè)基本模型。當(dāng)tn時(shí)，稱■（0）（t）為模型預(yù)測值。

2.2 改進(jìn)后的PGM（1，1）模型

GM（1，1）模型采用緊鄰均值生成方法，以Z（1）（t-1）=（x（1）（t+1）+x（1）（t））/2作為背景值，這樣有一定的局限性，它不足以顯示各種因素對建模原始數(shù)據(jù)貢獻(xiàn)（即影響力）的大小。且認(rèn)為在短時(shí)間？駐t=1內(nèi)，從變量x（1）（t）到變量x（1）（t+？駐t）之間不會(huì)出現(xiàn)突變量，但？駐t只是相對短的時(shí)間。因此GM（1，1）模型不能反映短時(shí)間內(nèi)的突變量對變形發(fā)展的影響，從而影響了模型的預(yù)測精度。且從式（5）、（7）可以看出，GM（1，1）模型的精度依賴于背景值的構(gòu)造形式。

因此，針對背景值進(jìn)行改進(jìn)，引入P值[4]（即權(quán)值），賦予數(shù)據(jù)不同的權(quán)重，從而得到一種基于權(quán)的PGM（1，1）模型。在該模型中，以x（1）（t+1）和x（1）（t）的加權(quán)值作為背景值，即Z（1）（t+1）=px（1）（t+1）+（1-p）x（1）（t）。最佳權(quán)值P的取法基于誤差理論，即使原始值與模擬值之差的平均相對誤差達(dá)到最小。見下式：

殘差： （8）

文章采用搜索法確定最佳權(quán)值：P從0.01開始，每次按照0.01遞增（也可以精確到小數(shù)點(diǎn)3位以后或更小，如從0.001開始，0.001遞增），根據(jù)建模過程，依次求出對應(yīng)的平均相對誤差，直至遞增至P=0.99，找出最小的平均相對誤差及其對應(yīng)的權(quán)值，即為最佳權(quán)值。為了實(shí)現(xiàn)減少計(jì)算量并快速得出最佳權(quán)值。文章通過Matlab編制相關(guān)程序，限于篇幅原因，具體代碼不詳細(xì)列出。建立模型后，可采用殘差、平均相對誤差來檢驗(yàn)，對模型精度進(jìn)行評定。

3 實(shí)例分析

某高樓因一側(cè)城市道路改造，道路標(biāo)高下降， 樓群因自重和載體使基礎(chǔ)出現(xiàn)斷裂，對裂紋進(jìn)行了觀測，表1為采集的數(shù)據(jù)。

表1 原始觀測數(shù)據(jù)

取前6次數(shù)據(jù)分別建立GM（1，1）預(yù)測模型、PGM（1，1）預(yù)測模型（依據(jù)Matlab相關(guān)程序運(yùn)算，得最佳權(quán)值P=0.43而建立的），比較它們的模型精度，并利用這兩個(gè)模型預(yù)測07、08、09月份的變形值，與相應(yīng)的實(shí)際觀測值比較分析。

GM（1，1）預(yù)測模型：

PGM（1，1）預(yù)測模型：

具體結(jié)果見表2、表3：

表2 兩種預(yù)測模型結(jié)果對照

表3 兩種模型模擬值、預(yù)測值的平均相對誤差

從表2、表3可以看出PGM（1，1）模型的殘差絕對值偏小，平均相對誤差更小，PGM（1，1）模型的模型精度、預(yù)測精度較GM（1，1）模型更高。證明PGM（1，1）模型較GM（1，1）模型有更好的預(yù)測效果。據(jù)此，取前9次的觀測值建立PGM（1，1）預(yù)測模型（最佳權(quán)值P=0.39）為：■（1）（t+1）=4.2267e0.1778t-3.6867，在前后兩個(gè)PGM（1，1）預(yù)測模型中，發(fā)展系數(shù)a均小于0，說明裂紋將擴(kuò)大，|a|增大，表明裂紋擴(kuò)大的幅度將增加。根據(jù)后一模型預(yù)測的11月份變形值為3.4102mm。變形加大，與分析相符，應(yīng)及早增加防護(hù)措施。

4 結(jié)束語

數(shù)據(jù)的可靠性越高，賦予的權(quán)重越大，則數(shù)據(jù)建模中的可信度越大，通過對GM（1，1）模型及PGM（1，1）模型理論分析、實(shí)例計(jì)算。可以看出，由于PGM（1，1）模型考慮了原始數(shù)據(jù)波動(dòng)性的影響，因此不僅模型精度高，而且預(yù)測精度也比GM（1，1）模型好。從最佳權(quán)值的不同可知，PGM（1，1）模型預(yù)測受建模序列長短及其數(shù)據(jù)隨機(jī)變化的影響。可以推論，原始數(shù)據(jù)越多，預(yù)測越準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)

[1]陳永奇，吳子安，吳中如.變形監(jiān)測分析與預(yù)報(bào)[M].北京：測繪出版社.1998.

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[5]鹿利軍，杜子濤.灰色系統(tǒng)理論在建筑物變形分析中的應(yīng)用[J].測繪與空間地理信息，2006（2）.