淺談函數思想在高中解題當中的應用

李正章

在高中數學的教學過程當中，教師的教學重點已經不僅僅是一個個零散且具體的知識點了，而是要開始包含宏觀角度的數學思想方法. 這是能夠普遍適用于各種問題解答當中的有效工具，更是高中數學學習的精髓之處. 細數高中數學當中的各種思想方法，不得不提到函數思想. 對于函數思想，很多學生對之還存在著一定的誤讀，將函數思想與函數知識本身混淆在一起，認為函數思想就是函數本身，只能在解答函數問題時進行應用. 實際上，函數的思想方法在各類數學問題的解答當中，都是可以廣泛使用的，并能夠使很多解題過程大大簡化. 因此，我們有必要將函數思想的應用方式向學生們進行一個專題式的剖析.

一、巧妙解不等式

不等問題是各種高中數學測驗中的常客. 雖然大多數題目的難度不是很大，但是，如果沒有一個巧妙的解題方法，往往會造成解答過程復雜冗長，不僅浪費解題時間，更容易出現過程錯誤. 因此，將函數思想運用于不等問題的解答當中十分必要.

例如，曾經有這樣一個不等證明問題難住了一大批學生：已知，a，b∈R，求證： ≤ . 猛地看來，這個題目當中的求證內容十分復雜，讓人摸不到頭腦，更不要說在不等關系之下進行靈活變換了. 但如果能夠運用函數的思想來看待這個問題，解決起來就容易很多了. 在這個題目中，我們可以構造一個新的函數f（x），使f（x） = . 這樣一來，就可以從函數的單調性入手出現不等關系了. 不難發現，f（x）是（-1，+∞）上的單調遞增函數，由0 ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|也就可以得出，f（|a + b|） ≤ f（|a| + |b|）， ≤ 的結論也就不難得出了. 學生們發現，原本十分繁瑣的不等問題，在函數思想的輔助之下，一下子簡潔了很多，這樣的解題過程，甚至讓很多學生感到很震驚，也對于函數思想的運用效果感受深刻.

在不等問題解答過程中運用函數思想，使得不等問題的解答思路更加清晰了，解題速度也提升了不少. 這表明，函數思想在不等問題當中的融入，還是比較合理的.

二、重視函數變化

數列問題是令很多學生感到頭疼的部分，數列內容當中的公式定理并不算多，但其變化卻是相當靈活的，非常容易出活題，出難題. 這也是學生最難以掌握的，我們有必要將函數思想引入到數列問題的解答當中來.

例如，曾經出現過這樣一道比較典型的數列習題：已知，{an}是一個等差數列，其前n項和為Sn. 若a3=12，S12 > 0，S13 < 0，那么，該數列公差d的取值范圍是什么？并確定S1，S2，S3，…，S12當中，哪一個的值是最大的. 第一問的解答難度并不大，只要按照數列公式按部就班進行計算就可以了. 第二問中則出現了不同的解答方法. 其中，讓學生感到最為巧妙的方法當屬數列與函數的結合. 我們無需從數列的角度進行太多的思考，只需將Sn以na1 + 的形式進行化簡變形，不斷向著函數最值研究的方向靠攏，最終能夠得到2的表達式. 根據第一問已經求得的- < d < -3的結論可知，n取得最小值的時候，Sn取得最大值. 由此，從d的取值范圍得出n的取值也就很容易了. 這種函數方法的引用，明顯簡化了思維過程，減輕了學生的思考負擔.

以前，學生在面對復雜的數列問題時，只能圍繞著幾個公式打轉，局限性很大. 加入了函數思想之后，學生的思維路徑被大大拓寬了. 在這個工具的輔助之下，原本抽象復雜的數列問題都迎刃而解了.

三、推進數形結合

立體幾何，從字面上來看，似乎是一個純粹的圖形問題. 但是，稍加學習便會發現，立體幾何問題當中也經常會關聯到代數問題. 很多數量關系的計算，如果只是依靠幾何方法，思維過程會十分復雜，如果能夠將函數思想融入其中，解答效果就完全不同了.

例如，在立體幾何教學過程中出現過這樣一個問題：現有一個圓錐體，其底面半徑是1，高是3. 那么，該圓錐體的內接圓柱的全面積之最大值是多少. 在立體幾何當中出現最值問題時，學生們應當立即反應出函數思想求解的思維方向. 題目所求可以通過右圖方式表示出來，并設內接圓柱的底面半徑為r，高為h，全面積為S，圓柱體的軸截面為△ABC. 那么，在由■ = ■得出h = 3 - 3r的結論之后，就可以將S表示為2πr2 + 2πrh，并變形成為方便進行最值研究的形式，即-4πr - ■2 + ■，由此，其最大值■也就呼之欲出了. 也就是說，當r取得■時，圓柱體的全面積達到最大值■. 這道題本身的難度并不大，但它的函數思維過程卻給學生以很大啟發. 今后再遇到立體幾何中出現最值求解形式的問題時，學生便能夠第一時間選擇函數思想進行高效解答了. 在立體幾何的教學過程當中，我們常常要求學生要建立起數形結合的意識. 那么，當圖形位置關系被成功轉化為具體數量之間的關系時，又應當如何對之進行處理呢？這就是函數思想作用的體現之處，實現了靈活全面的數形結合，才能說是將立體幾何學習到位了.

通過上述方式的教學，學生對于函數思想形成了一個全新的完整認識. 大家發現，原來函數思想在高中數學解題當中的適用范圍如此之廣，只要能夠把握住函數思想運用的關鍵，建立起其與待解決的數學問題之間的聯系，函數思想往往能夠成為快速、準確解答問題的有力武器. 本文當中所列舉的知識函數思想是實際應用情況中的一小部分，它在方程問題、向量問題、三角問題等方面的幫助同樣很大，函數思想值得教師在高中數學教學過程中深入分析并重點推廣.