關于直線與圓錐曲線的位置關系之探討

崔興清

摘 要：直線與圓錐曲線的位置關系是歷年高考的重點、難點，當然也是熱點問題，其經常扮演著“把關題”的角色，是區分學生數學學習水平的關鍵性題目。以“直線和圓錐曲線的位置關系”為研究重點，分析了有關此重點的理論知識，隨之利用各種數學實例具體探討了直線與圓錐曲線的位置關系，幫助學生真正領悟“學以致用”的道理。

關鍵詞：直線；圓錐曲線；基礎理論；位置關系

從某種層面來看，直線與圓錐曲線位置關系的問題，匯集了高中階段整個解析幾何與圓錐曲線的知識點，而且還涉及函數、方程及方程組、不等式、平面幾何、三角形等諸多內容，并形成軌跡、參數、數值等一大堆數學問題。由此可見，此類知識點確實具有超強的綜合性，而且對學生的學習能力要求頗高，所以高中老師在講授此知識點時，應該格外注意的好。

一、概述與直線和圓錐曲線相關的數學基礎理論

1.直線與圓錐曲線的位置關系

直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度來看，可以分成三種，分別是：無公共點，僅有一個公共點及兩個相異公共點，意思就是：當直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線只有一個交點；當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有一個交點。從另一種層面來看，直線與圓錐曲線的位置關系又可以分為三種，即相交、相切、相離。后面這種說法的提出，常用代數方法即解方程組來計算，原因在于方程組解的個數與兩線交點直接代表了兩線之間的位置關系，而且計算起來相對簡單一些，因此在直線與圓錐曲線位置關系的問題上常采納后者的代數方法。

2.以上所提三種關系的判斷條件

如果a=0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸進線平行或重合；

當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行或重合。

3.直線與圓錐曲線相交的弦長公式

二、利用具體教學實例鞏固學生的知識掌握能力

本題主要考查了直線與圓錐曲線相交這一知識點問題，從題目中“橢圓C上有兩個不同的點”便可得出Δ>0的結論，又因為兩個交點關于直線l對稱，因此可以輕松列出方程組，從而求得m的范圍。在此題目中，學生一定要找出題目中的隱含條件，避免陷入解題的尷尬境地。

三、課后及時歸納總結與反思

1.總結直線與圓錐曲線的位置關系的誤區

關于直線與圓錐曲線的位置關系這一知識點內容，由于直線和圓錐曲線具有三種位置關系，而這三種位置關系卻因為三類曲線而各自存在特殊性，這就導致它們的相交狀況也不相同，因此容易走進一些解題誤區。常見的解題誤區有四種：一是忽略題目中所要求的隱含條件，二是忽略直線與雙曲線的特殊位置關系，三是忽略直線與拋物線特殊的位置關系，四是忽視直線與圓錐曲線相交的前提條件。因此，在老師授課以及解析題目的過程中，務必要解釋清楚一些模棱兩可的問題，以免學生陷入解題誤區。

2.歸納解題過程中所用的定理和思維方法

直線與圓錐曲線的位置關系一直為高考的熱點，這類問題常涉及圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數形結合思想來設。與此同時，直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數解或實數解的個數問題，此時要注意用好分類討論和數形結合的思想方法。

3.改進并完善課堂教學方法以及作業布置

現下，新課標明確提出老師應該給予學生充分的參與教學活動的機會，應該視學生為課堂主體，挖掘他們自主學習能力。因此，老師需要改進并完善課堂教學方法，可以嘗試采用學案教學、師生互動探究以及小組討論學習的方法，讓學生親身去發現問題、解決問題。與此同時，老師在練習作業的設置上，最好具有一定的針對性、靈活性，真正實現鞏固學生所學的目的。

總的來說，關于直線與圓錐曲線的位置關系這一知識點，不管在老師教學還是學生的學習方面，都具有一定的難度，以上即為筆者簡單的闡釋和舉例說明，希望起到拋磚引玉的作用。當然，與直線與圓錐曲線的位置關系相關的實例不止以上幾種，掌握好這些實例對學生領悟解析幾何的思想方法，提高學生對解析幾何的解題能力是大有裨益的。

參考文獻：

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編輯 謝尾合