冪級數在積分中的探索

惠麗

【摘要】在求積分過程中，對一個復雜的函數有時很難積分，如果把復雜的函數化成冪級數的形式，并根據冪級數的性質，便很容易的對其逐項積分，從而得到積分結果.下面就冪級數在積分中如何運用這個問題進行討論.

【關鍵詞】冪級數；逐項微分；逐項積分；M判別法；一致收斂

一、冪級數的概念

在函數項級數中，有一類十分特殊的級數，它的每一項都是x的冪函數即：

un=anxn（n∈N）我們稱這種函數項級數為冪級數.

1 具體定義：形如∑∞n=0anxn=a0+a1x+…anxn+L（1）與∑∞n=0an（x-x0）n=a0+a1（x-x0）+an（x-x0）n+L（2） 的級數，分別稱為x的冪級數與（x-x0）的冪級數.其中a0，a1…an，L稱為冪級數的系數.

注1因經變換后，冪級數（1）與（2）可相互轉化，故下面主要討論形式（1）的冪級數.

二、冪級數的運算性

討論冪級數的性質，指的是冪級數∑∞n=0anxn的和函數s（x）的性質.同一般函數類似，冪級數也有加減乘除微分與積分等運算.求解具體問題時，這些運算起著十分重要的作用.

【參考文獻】

[1]劉玉璉，傅沛仁.《數學分析講義》第三版下冊.北京：高等教育出版社，1992.