淺析在收斂問題中階的估計方法的應用

祝君儀

【摘要】 作為數(shù)學分析中的基本概念之一，階的估計是在收斂問題的數(shù)學分析中一個及其重要的分析方法.本文首先闡釋了關(guān)于階的概念定義，然后通過對階的估計方法的應用，即用階的估計討論數(shù)學分析中判斷正項級數(shù)收斂和判斷廣義積分的收斂問題.論證了階的估計方法的應用在解決收斂問題上凸顯的精煉準確的優(yōu)勢，為今后研究相關(guān)問題上提供了一種方法途徑.

【關(guān)鍵詞】無窮大量；極限；階的估計；級數(shù)；廣義積分

階的估計是數(shù)學分析中討論收斂問題時一個極其重要的方法，運用這種方法，可以有效處理復雜的數(shù)學問題，可以簡化計算的程序步驟，得到精確的結(jié)果.

本文從階的概念入手，對數(shù)列、 函數(shù)及級數(shù)中一些收斂問題，即判斷正項級數(shù)收斂和判斷廣義積分的收斂問題進行分析計算.用實際判定過程證明運用階的估計方法，可以切實有效地處理收斂問題.

就與參數(shù)y有關(guān)，此時我們常用Οy（x）代替Ο（x），以表明“大Ο常數(shù)”與參數(shù)y有關(guān).

2.在收斂問題中階的估計方法的應用

2.1 利用階的估計的方法判斷正項級數(shù)收斂

在判定正項級數(shù)收斂性問題時，我們最常用的是比較判別法.這個方法雖然對于那些級數(shù)通項的前后項之比很容易計算的問題來說是較為方便的.但對于有的問題，這個作比后再轉(zhuǎn)化比較的計算量很大.為了克服這一缺點，我們利用階的估計的計算方法來解決這類問題.

級數(shù)∑∞n=1an收斂與否取決于無窮小數(shù)列an，收斂于零的速度，即取決于當n→∞時an的階.利用階的估計的方法卻能輕易的解決，體現(xiàn)了該方法在解此類問題時的優(yōu)勢.

x 發(fā)散.但當x>0時，原級數(shù)是Leibniz型級數(shù)，從而必收斂.故在0

由此可知，上述的級數(shù)如果作前后項之比來判斷斂散性的計算量比較大，所以它們都不宜用比較判別法來判定，但如果運用階的估計法來判定卻非常方便.在運用階的估計法來判定級數(shù)的斂散性時，關(guān)鍵正在于能否對正項級數(shù)的一般項的階進行迅速而準確的判定，就是要對正項級數(shù)的一般項進行“換底”.如果做到了這一點，那么判定將會變得簡單.

2.2 利用階的估計的方法判斷廣義積分收斂

判定廣義積分斂散性問題時，運用比較判別法的關(guān)鍵就在于能否迅速尋找到一個適當?shù)谋容^對象，從這個角度來說，與其說它是一種判斷收斂的方法，還不如說它是種審斂原理.因此，為了找到一個適當?shù)谋容^對象，我們可以對被積函數(shù)首先進行階估計，然后將估計所得與一些判斷收斂的定理條件相比較，從而可以迅速地得出原廣義積分斂散性的結(jié)論.

顯然和正項級數(shù)一樣，上述無窮積分的斂散性都無法直接用比較判別法來判定，如上運用階的估計法來判定卻是比較方便，這顯示了階的估計法在定性判定方面的優(yōu)越性.在運用階的估計法來解題時，第一步要對無窮積分的被積函數(shù)進行“換底”，讓它同的階作比較，那么判定的過程將大為簡化.

結(jié)論

本文從收斂問題中攫取了判斷正項級數(shù)收斂和判斷廣義積分收斂兩個例子進行研究，通過上述判斷，我們不難發(fā)現(xiàn)巧妙運用階的估計方法分析問題能夠變得簡單清晰.這就顯示了階的估計方法在分析收斂問題方面的優(yōu)越性.此外，階的估計法還可應用于某些函數(shù)的漸進展開及數(shù)學中的估值，應用這種方法對理解數(shù)學的概念，拓展解題思路都非常有益.

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