走出數學思維誤區的踐行

顧靜

【摘要】數學以它特有的魅力吸引著眾多的中學學生，而學生往往也是帶著濃厚的興趣開始的，但是，隨著學習的進一步深入，學生普遍存在著上課易懂、做題易錯、學后易忘的現象.作為數學教師如何利用心理學知識分析學生學習中的思維誤區以減輕學生學習數學的負擔？如何提高中學數學教學的實效性？成為教師責任之一，因此研究中學學生數學學習中的思維誤區并采取相應的矯正策略，對指導學生學好數學有著非常重要的理論和現實意義.

【關鍵詞】數學；學習思維誤區；矯正策略

一、學習數學的思維特點及誤區的形成

據心理學研究，中學生已經完成從具體形象思維向抽象思維過渡，抽象思維逐漸占主導地位，這種思維特點為學好數學概念和規律打下基礎，而通過數學的學習更能促進其思維的轉變.這正是學生學習數學的思維特點，因為學習數學是以觀察、實驗為基礎的，在觀察與實驗獲得感性材料的基礎上經過抽象思維，才能得出數學概念和規律.

在心理學中，思維是通過抽象和概括，即知識的內化過程，揭示事物的本質和內在規律性，知識的結構和注意方式是影響思維的重要變量.布魯納的認識發展理論認為：學習本身是一種認識過程，在這個課程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構，對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存.也就是說，學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新舊知識的“媒介點”，含混不清的知識會對新知識產生嚴重的干擾，給理解、記憶和應用造成極大的困難.作為數學教師在教學過程中若脫離學生思維實際，讓學生新舊知識不能順利過渡交接，必然會讓學生對所學知識在認知和理解上產生困難，而且學生學習數學受自身的心理認識水平和生活經驗的制約；其次，還受學習內容的概括性、抽象性程度的制約.所以，在數學學習時，往往會產生一些思維誤區，出現各種各樣的錯誤，如亂套公式、張冠李戴、思維混亂等現象.

二、 數學學習思維誤區分析及矯正策略

中學數學思維產生的原因有很多，有的來自我們教學的疏漏，有的來自學生自身，作為學生個體存在差異性，所以中學數學思維誤區也有不同表現，解決方法也不盡相同，具體如下：

（一）概念辨析不清形成的思維誤區

許多相近的數學概念，既相互聯系又相互區別，具有不同的本質屬性.如果對它們的數學意義理解不透，區分不清，加上頭腦中沒有清晰的表象，容易將它們之間的關系簡單化.例如：瞬時變化率和平均變化率.平均變化率：設函數f（x）在x=x0處及附近有意義，當自變量x在x0處有改變量Δx，函數y相應地有改變量Δy=f（x+x0）-f（x），改變量之比叫函數y=f（x）在x0到x0+Δx之間的平均變化率.當Δx→0，ΔyΔx→某個常數（或有極限），這個極限叫f（x）在點x0處的導數即瞬時變化率.有同學就很難理解這兩個概念，認為瞬時變化率當Δx→0，怎么還會有一個隨自身變量變化的速度.

要克服這種思維誤區，可以抓住兩個概念間的差異，從不同的角度突出這種差異，進行區別.一種是可以通過列舉具體的典型例子加以糾正，使概念深化，找出兩者之間的內在聯系和區別.如用物理中的平均速度和瞬時速度加以類比，或從導數的幾何意義入手，運用圖像進行區別，平均變化率是曲線割線的斜率，而瞬時變化率是曲線在某點上切線的斜率.

概念是反映客觀事物的本質屬性的思維形式，是在大量實驗基礎上運用邏輯思維方式，把同類事物的本質共性集中起來，加以概括形成的.

所以我們有如下做法：在講概念時，應展開充分的分析、討論，讓學生弄清概念的來龍去脈，明確概念的形成過程，以達到對概念內涵的準確理解和掌握；為消除這類誤區，要求教師在概念教學中，重視對概念的剖析； 加強知識訓練環節，反復矯正鞏固，加深理解； 用其他學生更能切實體會的方式讓學生產生興趣.

（二）思維定式干擾形成的思維誤區

學生運用掌握的知識，形成了一套有效的分析解決問題的推理方式和方法，變成了學生的一種能力，一定的思維模式，這種現象叫思維定式.但這種現象具有雙重性，從正面說，思維定式的形成表明學生不僅掌握了知識，并且也形成了一定的思維推理能力；從反面說，這種思維定式對分析解決能力的發展和提高也具有一定的阻礙作用，這種現象在教學中是很常見的.

中學生已經有相當的豐富的解題經驗，思維往往陷入僵化，有些學生很難放棄一些陳舊的解題經驗，思維陷入僵化狀態，不能根據新的問題的特點作出靈活的反應，常常阻礙更合理有效的思維甚至造成歪曲的認識，不能對出現的新問題作出靈活反應.

如：z∈c，z-3-4i≤3，求z的最小值，不少的同學會不約而同地說，z的最小值為2，理由是以前我做過類似的題目： z∈c，z-3-4i=3，求z的最小值.忽略了z對應的點由圓上的點擴充到了周周和圓內的點.又如：求y=x+1x的取值范圍.不少同學會不假思索地回答2，+∞，理由是基本不等式.直到高三畢業，提到線線垂直，仍有學生認為這兩條直線是相交的.類似的問題不能窮盡.

要克服這種思維定式，教師可以精心設計的診斷性題目，事先了解學生可能產生的錯誤想法，要運用延遲評價的原則，即待所有學生的觀點充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解決不徹底.有時也可以設置疑難，展開討論，疑難問題引人深思，選擇學生不易理解的概念，不能正確運用的知識或容易混淆的問題讓學生討論，從錯誤中引出正確的結論.這樣，學生的印象特別深刻，而且通過暴露學生的思維過程，能消除消極的思維定式在解題中的影響.應該注意運用典型的事例加強練習，增強訓練的新穎性，增強題目的靈活性，重在提高具體問題具體分析的能力，切實加強審題能力的培養，使學生形成正確的分析習慣和方法，克服想當然的按頭腦中的思維套路來解題的不良習慣.教師要引導學生對知識概括歸納，構造知識塊、知識鏈，形成網.具體可以：相同類型的題目一起講；設計發散性問題，培養學生的思維靈活性；設計探究性問題，提高學生思維的創造性及培養學生邏輯推理能力.隨著教師教學的深入，讓學生不做“套子”里的人.

（三）忽視隱含條件形成的思維誤區

學生在學習數學過程中，往往順著事物發展過程去思考問題，缺乏系統的思考能力，片面地把握事物的本質，不能正確地解決一些問題，常常忽視隱含條件.

例：x2+2y2=6x，求x2+y2的最大值，在復習函數最值時學生做到這樣的一題，但是學生答案卻分成兩類，一部分同學是這樣解決的：∵3x2+2y2=6x，∴y2=6x-3x22∴x2+y2=-12x2+3x=-12x-32+92，∴x2+y2的最大值為92.這顯然反映了學生思維的膚淺，忽略了隱含條件y2≥0.學生運用數學知識解決實際應用問題時，常常是多條件的，有些條件隱含在字里行間.

中學生的思維能力有了更高的抽象性，對事物能注意到具體分析，找到本質特征，能在分析綜合的基礎上，將已獲得的理論運用到解決具體問題中去.若教學中給予學生更多的獨立學習、探索、發現的機會，在實踐中去分析、研究、解決生物問題，就能不斷地激起他們求知的需求，滿足他們探索的欲望.

（四）類比不當形成的思維誤區

類比思想方法是富于創造的一種方法.這是因為它可以跨越各個種類進行不同類事物的類比，可以比較本質的特征，也可以比較非本質的特征，因而具有較強的探索和預測作用.康德說過：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這種方法往往能指引我們前進.”

恰當地運用類比，可以幫助學生掌握所學的知識.如在學習立體幾何時，二面角和角的概念可以類比，平面內的點對應到空間中的點或直線，平面內的直線對應到空間中的直線或平面，那么把平面幾何中的點換作直線，或把線換作平面，學生很容易對二面角的概念理解.但類比不當，會造成學習知識的思維誤區.

如：我們解這樣的不等式4i+log0.5x≥5，x∈R，求x的取值范圍.學生往往把不等式可化為4i+log0.5x≥5或4i+log0.5x≤5……這里受實數x，|x|≥a（a>0）

Symbol[C@ x≥-a或x≤-a的影響而產生的錯誤類比.事實上，應該先把問題實數化，即不等式化為16+log0.5≥5，再解這個不等式.還有如： ax2+bx+c=0 有實根Δ≥0，而忽略這個方程的類型.

克服這種思維誤區的有效方法，教學中，通過一些易混概念性質的類比，既可糾正學生的錯誤，還可以使學生掌握類比的可行性、準確性、局限性，從而科學地掌握運用類比思維方法.主要抓住兩個題目之間的本質差別，分析其差異，找出類比不具備的前提條件，消除這種思維誤區，培養學生良好的類比思維方法.

（五）教學方法不當造成的思維誤區

在教學過程中，教師不顧學生的實際情況，進行脫離學生的不當教學容易造成學生在學習過程中產生思維誤區.

一種情況是教師過于“放手”.自新課改實施以來，很多教育家認為要把學生的主體地位在課堂上體現，越來越多的教師在課堂上拋給學生一個問題后隨即就變成一個旁觀者，而不顧學生的年齡特點與班級的實際情況，任由學生討論交流，擔心必要的啟發點撥會招來“瑣碎引導”的嫌疑.于是一兩名學生得出的正確結論變成大家的討論成果，這樣造成學生的思維誤區，很多同學的思維品質根本沒有得到發展.例如等比數列前n項的和，學生對錯位相減法掌握不到十分熟練的地步，學生也很難想到這種方法，這一教學過程中教師必須有所創造，有所點撥.

另一種情況是任由教師按自己的思路或知識邏輯進行灌輸式教學，如：在《解一元二次不等式》的教學中，教師只顧自己的思路推導出，ax2+bx+c>0，（a>0）的解集.當Δ>0，解在兩根之外，當Δ=0，解是除了根之外的其他實數，當Δ<0，解為一切實數.學生往往很難理解為什么我們往往要求要把二次項系數化為正，在以后的解題中就形成思維誤區.實際在教學中，讓學生討論二次函數在開口不同且Δ也各異時的圖像，讓他們在教師的步步引導下來看不等式，自然也掌握了整個知識的來龍去脈，那實際a大于零還是小于零都無所謂了.

解決方法：教師在研究教材思路和學生思路的基礎上，根據學科知識的邏輯結構和學生的思維特征，設計一條適合學生已有的知識水平，并有目的地促進其發展的科學思路，讓學生循著這條思路的正確線索而探索知識的教學過程.教師在教學中根據教材思路，聯系自己的領悟，理清思維脈絡，先講科學思維的方法和過程，再導出思維的結果，這樣就可以激勵學生的思維.

總之，為了有效克服以上所述的各種思維誤區，就必須認真研究學生思維誤區產生的根源，采取各種教學手段，見招拆招，誘導思維、激勵思維、啟發思維、活躍思維，增強預見性和針對性.通過思路教學激勵思維；通過解題過程啟發思維；通過情境教學活躍思維.熟悉掌握思維方法切實糾正學生思維過程中的錯誤偏差，并且在運用中不斷鞏固、深化、提高思維能力.這樣才能提高學生數學學習的實效性，才能更有效的提高教學質量.

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