圓課程難度的定量分析比較

鄭澤娜　張磊

【摘要】在分析影響課程難度的因素的基礎上，構建了刻畫課程難度的數學模型N=αG/T+（1-α）S/T.并以此定量比較我國《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）與《全日制九年義務教育初中數學教學大綱（試用修訂版）》 （以下簡稱《大綱》）中幾何部分內容的難度——對“圓”相應課程難度進行對比分析，以此考察初中幾何課程、教學內容的發展變化，希望對于我國基礎教育課程改革提供一些啟示.

【關鍵詞】課程難度；可比深度；可比廣度

【基金項目】2014年廣東省大學生創新創業訓練計劃項目：基于課程難度定量分析模型下的初中幾何課程難度研究.項目編號：201410578047.

一、背景

圓在《大綱》與《標準》中的內容相比，發生了比較大的變化，特別是在《大綱》中的圓與圓的位置關系中，弦切角定理、相交弦定理、切割線定理是很重要的內容，但在《標準》中卻沒有這部分的內容.這些變化對初中數學教師理解和實施《標準》提出了挑戰.那么，通過對《標準》與《大綱》中初中部分圓的內容及難度上的比較，看看新課改是不是在實質上真正給學生減壓了！

二、課程內容的對比

《大綱》與《標準》中“圓”對應的知識點如下：

（1）《大綱》 ：

1.圓的基本概念：①理解圓、等圓、等弧等概念及圓的對稱性；②掌握圓心角、弧、弦、弦心距及圓周角之間的主要關系；掌握圓周角定理以及直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑等性質，并能會用它們進行論證和計算，會作兩條線段的比例中項.

2.點與圓的位置關系：①掌握垂徑定理及其逆定理；②了解軌跡的概念和幾個簡單軌跡，了解反證法；③掌握點和圓的位置關系，了解三角形的外心、內心的概念；④掌握圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角的性質.

3.直線與圓的位置關系：①掌握直線和圓的位置關系；②掌握經過圓的切線的定義、性質和判定；③掌握切線長定理、弦切角定理、相交弦定理、切割線定理，并會利用它們進行有關的計算；④通過圓周角定理的證明，使學生了解分情況證明數學命題的思想和方法.

4.圓與圓的位置關系：①掌握圓和圓的位置關系；②掌握相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.相切兩圓的連心線經過切點等性質；③了解兩圓的外公切線的長相等，兩圓的內公切線的長相等等性質，了解兩圓公切線長的求法；④掌握兩圓的外切線的長相等、內公切線的長相等的性質；⑤會利用直線和圓相切、圓和圓相切的性質，畫出直線和圓弧、圓弧和圓弧連接的圖形.

5.正多邊形和圓：①理解正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.會將正多邊形邊長、半徑、邊心距和中心角的有關計算轉變為解直角三角形的問題；②運用多種平面圖形進行鑲嵌設計.

6.弧長與扇形面積：①會計算圓的周長、弧長及簡單組合圖形的周長；②會計算圓的面積、扇形的面積及簡單組合圖形的面積；③了解圓柱、圓錐的側面展開圖分別是矩形和扇形，會計算圓柱和圓錐的側面積和全面積.

7.尺規作圖：①會用尺規作經過不在同一直線上的三點圓；②會過一點畫圓的切線.會用尺規作三角形的內切圓；③會畫兩圓的內、外公切線.

（2）《標準》 ：

1.圓的基本概念：①理解圓及其有關概念，了解弧、弦、圓心角的關系；②探索圓的性質，了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征.

2.點與圓的位置關系：①探索并了解點與圓的位置關系；②了解三角形的內心和外心.

3.直線與圓的位置關系：①探究并了解直線與圓的位置關系；②了解切線的概念，探索切線與過切點的半徑之間的關系；能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線.

4.圓與圓的位置關系：①探究并理解圓與圓的位置關系.

5.正多邊形和圓：①理解正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念.會將正多邊形邊長、半徑、邊心距和中心角的有關計算轉變為解直角三角形的問題；②運用多種平面圖形進行鑲嵌設計.

6.弧長與扇形面積：①會計算弧長及扇形的面積，會計算圓錐的側面積和全面積.

7.尺規作圖：①探究如何過一點、兩點以及不在同一直線上的三點作一個圓；②會過圓上一點作圓的切線；③會確定圓的圓心；④會作圓內接正方形和正六邊形.

三、《標準》與《大綱》中圓的難度量化比較

（1）影響課程難度的三個基本要素：據東北師范大學史寧中教授對課程難度的研究方法，他們對概念的界定是：影響課程難度的基本要素至少有三個：課程深度、課程廣度和課程實施時間.

（2）課程廣度：

用《標準》和《大綱》中圓的內容部分的“知識點的個數”來刻畫圓的內容的廣度.考慮到“正多邊形”在《大綱》中出現在《圓》之中，并且出現切割線定理及其推論，相應課程內容的知識點合計37個，取綜合的課程廣度系數為G1=37.《標準》中y圓的知識點分布較散，相應課程內容的知識點合計24個，取綜合的課程廣度系數G2=24.

（3）課程深度：

課程深度指課程內容所需要的思維的深度，可以用課程目標要求的不同程度來量化；《大綱》中是按四個層次“了解”“理解”“掌握”“靈活應用”來陳述目標（要求）的，《標準》中則是按三個層次（水平）來陳述目標（要求）的.考慮到“掌握”這一要求與“靈活應用”區別并不是很大，為了與《標準》 中的層次對應，將“掌握”與“靈活應用”合并為同一個層次.《標準》 除了以上這些結果性目標，增加了過程性目標，例如“經歷”“體驗”“探索”等.對這些過程性目標要進行量化有一定難度，但為了比較標準的統一，給過程性目標也賦了值.具體規定參照文獻[1].

①《大綱》中相應課程內容的知識點對于課程深度值分別為：

圓的定義及弦、弧基本概念（1），同心圓與等圓（1），圓的作圖（2），外接圓（1），垂徑定理（3），圓心角與弦、弧的關系定理（3），弦的度數和弦心角的度數的關系及應用（2），圓周角的定義（2），圓周角與圓心角的關系（3），圓周角與弦、弧的關系（3），做兩已知線段的比例中項（2），圓內接四邊形（3），軌跡（1），反證法（1），直線和圓的三種位置關系（3），圓的切線的判定（3），圓的切線的性質（3），切線長定理（3），多邊形的內切圓（2），圓的外切多邊形（2），弦切角（1），弦切角定理（2.5），相交弦定理及其推論（2.5），切割線及其推論（2），圓與圓的位置關系（3），兩圓的連心線的性質（3），兩圓的公切線的性質（1），兩圓的外公切線的做法（2），兩圓的內公切線的做法（2），相切在作圖中的應用（2），圓的內接正多邊形（1），正多邊形的內切圓與外接圓（1），正多邊形的有關計算（2），正多邊形的作圖（2），圓的弧長（2），扇形的面積（2），圓錐的側面展開圖和側面積（2），鑲嵌模型（1），直徑所對圓周角（1）.

賦值合計78，取綜合的課程深度系數為78，即S1=78

②《標準》中相應課程內容的知識點對于課程深度值分別為：

圓的定義及弦、弧基本概念（2），垂徑定理（3），圓心角與弦、弧的關系定理（1），圓周角的定義（1），圓周角與圓心角的關系（2），圓周角與弦、弧的關系（1），圓內接多邊形（多邊形的外接圓）（1），圓內接四邊形的性質（3），直角三角形斜邊中線的性質（2），點與圓的位置關系（3），如何確定圓的圓心（3），三角形的外接圓與外心（1），反證法（1），直線和圓的三種位置關系（3），圓的切線的判定（2），圓的切線的性質（3），切線長定理（2），三角形的內切圓與內心（1），圓與圓的位置關系（3），正多邊形的有關計算（2），正多邊形的作圖（2），圓的弧長（2），扇形的面積（2），圓錐的側面展開圖和側面積（2），鑲嵌模型（2），直徑所對圓周角（3），作圓的切線（2），過三點作圓（3）.

賦值合計55，取綜合的課程深度系數為55，即S2=55

（4）課程實施時間：

《大綱》下的課程實施時間：T1=30；《標準》下的課程實施時間：T2=20.

（5）難度比較：

課程難度就與課程深度、課程廣度成正比，與課程實施時間成反比.課程難度實際上就是“可比廣度”和“可比深度”的加權平均值.根據以上數據和文獻[1]中難度計算公式，分別求出《標準》與《大綱》中圓部分的可比廣度、可比深度，統計數據及比較結果：

①《大綱》：課程廣度G1=37，課程深度S1=78，課程時間T1=30，N1=α·37+（1-α）·78[]30≈2.60-1.37α.

②《標準》：課程廣度G2=24，課程深度S2=55，課程時間T2=20，N2=α·24+（1-α）·55[]20≈2.75-1.55α.

其中0<α<1，于是，如果取1.23

由此可知：與《大綱》中圓的內容相比，《標準》中圓的內容的可比廣度增加0.07，可比深度減少，0.15，課程難度減少了0.26，即與《大綱》相比，《標準》中圓的內容難度大大減少了.

《標準》中可比廣度增加量為0.07，可比廣度的減少量為0.15變化大，說明在知識點掌握上旨在擴寬學生的見識面，增加了與現在科技發展相需求的知識點，比如：增加了直角三角形斜邊中線的性質，確定圓的圓心，過圓外一點作圓的切線等，體現了新課標理念，最大程度地發展學生用數學，體會數學從生活中來，最終還是服務于生活，而且增加的內容大多是關于動手作圖的，使學生在學習中提高自己的操作能力.

四、結論

《標準》中圓的內容突出了圓的性質的重要性，體現在廣度的增加上，圓的內容的擴展面上需提高，在研究的深度上，相對要求放低.在深度方面，根據新時代的要求，適當刪減一些不常用的內容，如：公切線定理、切割線定理、弦切角定理、兩圓的連心線等，例題也基本是采用生活中的實際問題，既能讓數學與實際聯系起來，又讓同學們覺得數學不枯燥.

新的《普通初中數學課程標準（實驗）》與原《全日制普通初中數學教學大綱（試驗修訂版）》相比，有以下特點：對數學本質有了新的認識，這種新認識體現了一種動態的模式論的現代數學觀；課程目標突出體現了學生發展為中心的思想；課程內容在為課程目標服務的原則下增強了選擇性；課程評價進一步豐富和完善了大綱多元化的理念.

【參考文獻】

[1]史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國義務教育幾何課程難度的對比[ J].東北師人學報（哲學社會科學版），2005，（6）：151～155.

作者簡介

鄭澤娜（1992—），女，廣東潮州人，韓山師范學院數學與應用數學專業學生.

張磊（1981—），男，河南確山人，韓山師范學院數學與統計學院講師，研究方向為數學教育，為通訊作者.