簡析如何掌握極限的ε語言定義

楊兆蘭

摘 要：極限的ε語言定義是非常精準但又極其抽象的定義， 本文從解不等式的角度出發，討論了如何理解并掌握這種定義，為數學專業的初學者提供了一種思考的新角度，有助于學習者能巧妙而快速地應用ε語言定義求極限。

關鍵詞：極限；ε-δ定義；不等式

極限理論是微積分的理論基礎，而極限的ε語言定義是從量化的角度給出了用數學解析式計算數列an（函數f（x））與某個常數A的依賴于自變量n（x）的距離的一種定義形式。極限的ε語言定義中核心的是兩個不等式及其之間的邏輯關系。就不等式本身而言，其求解就是數學中比較難的一個環節，在極限的ε語言定義中涉及兩個不等式，而計算的核心是由一個不等式出發求證另一個不等式的存在性，由于極限的語言定義的極度抽象，使得初學者對它的學習感到很難掌握。本文從不等式出發，解析兩個不等式之間的這種邏輯結構，給出它們之間更為清晰的關系以便初學者能快速地應用極限的ε語言定義解題。

一、數列極限的ε-N定義

定義1 設{an}為數列，a為已知的常數，若對任意的ε>0，總存在正整數N，使得當n>N時有

|an-a|<ε

則稱a為數列{an}的極限，記作liman=a。

在數列極限的ε-N定義中有兩個不等式，即：

n>N和|an-a|<ε。

它們的邏輯關系是：任給ε>0，

希望不等式|an-a|<ε成立；為能使不等式|an-a|<ε成立，需對n的取值大小給出限定，當n滿足不等式n>N時，在|an-a|中，將其中的n用不等式n>N右側的N替換，就會推出不等式|an-a|<ε成立。

基于數列極限ε-N這樣的定義，

有以下兩個問題必須搞清楚：

（1）能否找到使不等式|an-a|<

ε成立的n允許取值的下限N，即不等式n>N；

（2）若能找到，如何找？

對這兩個問題的回答是理解和掌握數列極限的ε-N定義的關鍵。事實上，一般情況下，這兩個問題是在同一過程中解答的，為了找到使不等式|an-a|<ε成立的不等式n>N，有兩方面要去思考。

一方面，雖然n>N是使|an-a|<

ε成立的充分條件，但是為了更快地尋找線索，可以先假設|an-a|<ε成立，將n>N作為|an-a|<ε的必要條件推出n允許取值的下界N。事實上，如果推導的過程是等價關系的推導，這樣所得到的結果n>N，同時也即是問題所要的充分條件。保證等價推導是很容易做到的， 所以，在解題時，思考的方向往往是從|an-a|<ε出發推出n>N。這是學習數列極限的ε-N定義首先要弄清的地方。

另一方面，為了能從不等式|an-a|<ε正確地推導出不等式n>N，需要搭建合理而巧妙的橋梁。其中一個是將|an-a|先做適當的變形。為了保證|an-a|<ε和n>N的邏輯關系不變，對|an-a|只能做恒等或放大變形。變形的目標是去掉絕對值并得到關于n的一個真分式，其分子為常數。此時，再令此真分式小于ε，推出n>N。同時，可以清晰地看到，N是關于ε的函數，這里要指出的是，將|an-a|恒等或放大變形為n的一個真分式，并不是很容易做到。

例1 證明lim—=0，這里α為正數。

思考過程：由于|—-0|=—，而—已經滿足了無絕對值又是真分式的情形，所以可直接令—<ε，從而推出n>—。其中—正是要求n的取值的下界N。事實上，N可以取大些也不影響整個推證的過程。比如，取N=[—]+1。在書寫時，為了符合定義的邏輯順序，證為如下：

證： 由于|—-0|=—，故對任給的ε>0，只要取N=[—]+1，則當時n>N，便有—<—<ε，即|—-0|<

ε。這就證明了lim—=0。

例2 lim—=0

證：對任給的ε>0，為使|—-0|=—=—·—……—·—≤—<ε，

只要取N=[—]，則當n>N時，便有|—-0|<ε。這就證明了lim—=0。

二、函數極限的ε-δ定義

定義1 設f（x）為定義在U（∞）上的函數，A為定數，若對任給的ε>

0，總存在正數M，使得當|x|>M時

有：

|f（x）-A|<ε

則稱函數f（x）當x趨于∞時以A為極限，記作limf（x）=A。

定義2 設f（x）在點x0的某個空心鄰域U0（x0；δ'）內有定義的函數，A為定數，若對任給的ε>0，總存在正數δ（<δ'），使得當時0<|x-x0|<

δ有 |f（x）-A|<ε，則稱函數f（x）當x趨于x0時以A為極限，記作limf（x）=A。

如果對數列極限的ε-N定義的上述分析理解的話，函數極限的ε-δ定義也就能順理成章地掌握，這里只需特別注意下面兩點：

（1）在定義1中涉及的兩個不等式是：|x|>M和|f（x）-A|<ε，|x|>

M相當于數列極限中的不等式n>N，即，需要對|f（x）-A|做恒等或放大變形至去掉絕對值并得到關于|x|的一個真分式，其分子為常數。此時，再令此真分式小于ε，推出|x|>M。

（2）在定義2中涉及的兩個不等式是：0<|x-x0|<δ和|f（x）-A|<

ε，0<|x-x0|<δ相當于數列極限中的不等式n>N。即，需要對|f（x）-A|

做恒等或放大變形至去掉絕對值并得到關于|x-x0|的多項式（最好次數比較低，比如一次或二次）。 此時，再令此多項式小于ε，推出|x-x0|<δ。

和數列的極限相似，函數極限難的仍是如何將|f（x）-A|做恒等或放大變形至所需要的形式。所以需要多做題、積累經驗、積累很多已有的不等式和常見的一些公式，在變形過程中可以起到事半功倍的效果。

例1 證明lim—=1

證：因x→∞，不妨假設|x|>1，

對任給的ε<0，因|—-1|=—=

—，為使—<ε，推出|x|2-1>—，有|x|>√1+—，取M=√1+—，

則當|x|>M時就有：|f（x）-1|=

|—-1|<ε。這就證明了lim—=

1。

例2 證明lim（x2-6x+10）=2

證：因x→2，不妨限制|x-2|<

1，即10，為使|f（x）-2|=（x2-6x+10）-2=|x-2|

|x-4|<3|x-2|<ε，推出|x-2|<—，取δ=min{1，—}，則當0<|x-2|<δ時，就有|（x2-6x+10）-2|<ε，所以，lim（x2-6x+10）=2。

總之，從不等式的角度出發討論極限的定義，從知識的銜接上看，使得新知識建立在學生原有的解不等式知識的基礎之上，抽象的理論也有了可操作性的計算步驟，便于初學者掌握。

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（作者單位：蘭州文理學院師范學院）