不等關系的早期探索

徐傳勝

古人先認識到不等關系，而后才認識到相等有關系.

在長期狩獵與分配獵物的過程中，古人自然產生了“有”和“無”之別，又逐步形成了“多”和“少”之分，后從“有”中理解到“1”和“多”的含義.有些原始部落認識到“1、2”和“多”的區別，把大于3的數看為“一群”或“一堆”.故可猜測古人知道，三只羊比兩只羊多.同學們知道，對于任意兩個實數a、b，它們存在著三種可能關系：a=b，a>b，a

相等關系僅僅是其中一種（呈現在數軸上是同一個點），故自然界充斥著大量的不等關系，猶如方程與方程組是研究等量關系的重要工具一樣，不等式與不等式組是研究不等關系的重要工具.

1.歐幾里得與不等關系.

雖然古希臘的畢達哥拉斯學派曾研究了若干自然數的性質，但其對數字之間的比較關系關注還較少.關于不等關系的確切表述和應用最早出現在歐幾里得所撰《原本》之中，他采用不等關系給出了一些定義，并論證了若干命題.在第一卷采用不等關系定義了鈍角和銳角.

定義11：大于直角的角稱鈍角，

定義12：小于直角的角稱銳角，

而在第五卷，歐幾里得定義了度量線段的部分和倍量，

定義1：當一個較小量能量盡一個較大量時，則稱較小量為較大量的一部分，

定義2：當一個較大量能被一個較小量量盡時，則稱較大量為較小量的倍量，

歐幾里得在《原本》中，論證了若干不等關系，從第一卷中幾個不等關系，同學們可略見一斑，

命題3：已知兩條不等線段，試從較長線段上截取一條線段等于較短線段.

以較長線段某個端點為圓心，以較短線段為半徑作網，利用所有圓半徑相等可輕松在較長線段上截取較短線段.此命題是線段比較長短的基礎.也許同學們感覺此命題無須證明，然而幾何學的嚴密性恰恰要求證明，如歐幾里得所言，直覺是不可靠的.我們需要能夠證明一切，公理化理論正源于此，

命題16：在任意三角形中，若延長某邊得到一外角，則外角大于任一不相鄰內角，

命題17：在任意三角形中，任意兩角之和小于兩直角之和.

命題18：在任意三角形中，大邊對大角.

命題19：在任意三角形中，大角對大邊.

命題18和命題19是姊妹命題，前者應用命題16證得，后者利用反證法得到.在此基礎上，歐幾里得推出三角形中的重要命題20.

命題20：在任意三角形中，任意兩邊之和大于第三邊.

其證明中還應用了公理5：整體大于部分.類似地，同學們可證：在任意三角形中，任意兩邊之差小于第三邊.

2.阿基米德與不等關系.

比歐幾里得稍晚一些的阿基米德（公元前287-前212），更是認識到了不等關系的重要性，在其著作《論球與圓柱》之中推證球體積公式時，利用了不等關系的一些結論.

直到6世紀，歐多修斯在對阿基米德的《論球與圓柱》注釋之中才證明了此命題，

需要說明的是，由于當時尚未創立相關數學符號，其推證過程顯得較為復雜.不過借助歐多修斯的思路，可以獲得重要不等式：

3.不等號的由來.

不等關系的頻頻出現，自然引起了數學家的關注，他們試圖采用簡潔的符號來表示.現在使用的“<”“>”是英國數學家哈里奧特（1560-1621）創立并最早建議使用的.

哈里奧特是英國代數學派的奠基人，其遺著《實用分析學》于1631年出版，該書在韋達研究的基礎上，主要討論了代數方程相關理論.哈里奧特寫道：

大于記號：a>b表示a量大于b量；

小于記號：a

這對符號簡潔優美，突出了相反的特征，很快就得到一些學者的認可和贊許.按照以出版時間為準的國際慣例，不等號應該算是誕生于1631年，然而此時哈里奧特已經逝世10年了，故可以推測不等號至少應是在1621年前創立的.

第一個把等號和不等號聯合組成新符號“≥”“《”者，應是法國數學家布格爾（1698-1758）.布格爾之父是水文學家和數學家.1730年布格爾成為勒阿弗爾的水文學教授，布格爾還發明了測日計來測量太陽及其他發光體的光強.布格爾在其著作中首創不嚴格不等號，但他未充分認識到其重要性，直到被德國數學家哥德巴赫（1690-1764）發現.哥德巴赫于1734年1月寫信給歐拉（1707-1783），并告知此事，歐拉立刻給予肯定，稱贊這對符號既保持了等號和不等號雙重關系，還如此簡潔優美.故現在把符號“≥”“≤”的創立時間確定為1734年.至18世紀初哈里奧特所創立的嚴格不等號也被廣泛使用起來.

同學們現在使用的不等號，是清末數學家李善蘭（1811-1882）首先引進的.1852-1859年，李善蘭與英國傳教士偉烈亞力（1815-1887）等合譯出版了《幾何原本》后九卷及《代數學》《代微積拾級》等，這是西方近代科學著作傳人中國的開端，其中李善蘭引進了西方大量數學符號，同時還創譯了許多科學名詞，如“數軸”“函數”“代數”等，已沿用至今，實謂匠心獨具.

不等關系在我們日常生活中經常出現，如“大與小”“長與短”“高與矮”“優與劣”“胖與瘦”等.而在數軸上，顯然右邊的點對應的數永遠大于左邊的點對應的數，只要同學們留意身邊的事情.就會發現很多不等關系.