不等式與不等式組”導學

田載今

人教版初中數學教科書的“不等式與不等式組”一章的主要內容有：不等式的基本概念與性質，一元一次不等式及其解法、應用，一元一次不等式組及其解法.通過學習這些內容，同學們會對表示不等關系的數學模型——不等式（組）形成初步的認識.

一、不蒼式是表示不等關系的數學模型

設a、b是任意兩個實數，則它們的大小關系有三種可能：（1）a大于b，記作a>b；（2）a等于b，記作a=b；（3）a小于b，記作a”和“<”分別表示大于和小于的關系，它們連同“≠”（僅表示不相等，未指明誰大誰?。?，都屬于不等號.

有些問題中，數量之間存在相等關系.等式是表達相等關系的式子，方程是含有未知數的等式.利用等式（包括方程）可以解決相等關系問題.

有些問題中，數量之間存在不等關系.不等式是用不等號連接兩個數量的式子，它是表示不等關系的數學模型，是解決不等關系問題的重要T_具，例如，有兩根長度分別為2 cm和3cm的木條，再找一根多長的木條就能擺成一個三角形？設第i根木條長xcm，根據“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，可以列出2+3>x和3-2

能使方程中的相等關系成立的未知數的值叫作方程的解，類似地，能使不等式中的不等關系成立的未知數的值叫作不等式的解.方程的解通常是一個或幾個確定的值，如方程x+1=2的解是x=1，方程X2=1的解是x=±1；而不等式的解通常是一個或幾個范圍內的任意數.例如，任一個比1大的數都是不等式x+1>2的解，任一個比1小的數都是不等式x+1<2的解.一個不等式的全部解所組成的集合，叫作這個不等式的解集.例如，不等式x+1>2的解集為x>1，不等式x+1<2的解集為x<1.解方程是求方程的解，而解不等式是求不等式的解集.含有一個未知數的不等式的解集，可以用數軸來直觀地表示.例如，圖1和圖2分別表示不等式x+1>2和x+1<2的解集.

二、對比等式的性質認識不等工的性質

我們先回顧等式的性質：（1）等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），等式仍成立；（2）等式兩邊乘（或除以）同一個數（除數不為0），等式仍成立，這兩條性質可以用式子表示為：（1）若a=b，則a+c=b±c；（2）若a=b，則ac=bc.a/b=b/d.等式的性質是等式變形（包括解方程）的依據.

不等式與等式在性質上既有相似之處，又有不同之處.不等式的基本性質可歸納為以下三條：（1）不等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，這三條性質可以用式子表示為：（1）若a>b，則。±c>6±c；（2）若a>b，c>0，則ac>bc，a/b>b/c；（3）若a>b，c<0，則ac<

三、聯系一元一次方程認識一元一次不等式

一元一次不等式及其解法與一元一次方程及其解法有許多相似之處.一元一次不等式中出現的都是整式，其中只含一個未知數，并且含未知數的項的次數都是1.把一元一次方程中的等號換成不等號，得到的就是一元一次不等式，這就是說，兩者的差別僅是一個含有等號，另一個含有不等號.解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟大體一樣，但有兩點需要注意：（1）不等式兩邊乘（或除以）同一個不為O的數時，要根據這個數的正負考慮不等號的方向；（2）解不等式的結果是得到未知數的取值范圍，而不是一個確定的值.

利用一元一次不等式解決實際問題與利用一元一次方程解決實際問題也十分相似，不同之處在于列方程要依據相等關系，而列不等式要依據不等關系，因此一定要分析出相關的兩個數量誰大誰小，并正確地用不等號把表示這兩個數量的式子連接起來.

同學們學習了不等式與不等式組以后，就能更好地分析和解決不等關系問題，并能發現我們學過的等式、方程和方程組等知識與新知識之間的聯系.