嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制優化策略?

李瓊等

針對嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略，使用空間直角坐標法、方程組法等方法，分析構建三維坐標橢圓方程模型與方程組模型，Matlab軟件編程計算，確定嫦娥三號著陸準備軌道近月點和遠月點的位置和相應速度的大小與方向，嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略，并對著陸軌道和控制策略做相應的靈敏度分析。

中國國家航天局嫦娥工程包括“繞”、“落”、“回”三個階段，嫦娥三號是第二階段的登月探測器，包括著陸器和月球車，它攜帶中國的第一艘月球車，并實現中國首次月面軟著陸。由于月球上沒有大氣，嫦娥三號無法依靠降落傘著陸，只能靠變推力發動機，才能完成中途修正、近月制動、動力下降、懸停段等軟著陸任務。本文旨在建立嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略優化模型并進行靈敏度分析（詳見2014高教社杯全國大學生數學建模競賽A題[1]）。

1 嫦娥三號著陸軌道和狀態的確定

研究思路。

從嫦娥三號運行軌道來看，嫦娥三號從遠月點開始制動使其沿月球做橢圓運動，當運行到近月點時制動著陸，最后落在虹灣區。選定嫦娥三號在19.51°W正上空所對應的著陸準備軌道做橢圓運動且近月點在月球極軸的延伸線上，以其極軸為x軸，橢圓中心為原點且月球中心為橢圓焦點，建立空間直角坐標系。

數據處理

結果分析

嫦娥三號在近月點的位置為B（19.51°W，90°N），速度大小為1700m/s，速度方向在近月點與橢圓相切，即方向與x軸垂直，與y軸平行。在遠月點的位置為D（19.51°W，90°S），相對速度大小為1583.5m/s，速度方向與x軸垂直且與y軸反向平行。

2各階段最優控制策略的制定

研究思路

依據問題一中的空間直角坐標系與求得的橢圓方程關系式的分析和進一步理解，確定各階段的運行軌道[4]和最優控制策略[5]。

數據處理

著陸準備軌道階段。嫦娥三號在著陸準備軌道階段的著陸軌道為橢圓方程 的一部分。最優控制策略：沿月球自轉方向保持1.7公里/秒的相對速度。

嫦娥三號著陸包括：著陸準備軌道階段；主減速階段；快速調整階段；粗避障段；精避障段和緩速下降階段。根據前兩階段的分析基礎，知可用同樣的模型和原理求得后幾階段行駛分別用的時間為：167.56s，1.37s，1.46s，0.6172s。且知快速調整階段全程使用最大推力7500N，此階段保持的時間為167.56s；在粗避障階段嫦娥三號的著陸軌道近似為一條豎直向下的直線，最優控制策略為主減速發動機的推力保持1559.2N，水平方向做少許移動；精避障階段嫦娥三號著陸軌道近似為一條豎直向下的直線，最優控制策略為主減速發動機的推力保持1596.9N，水平方向做少許移動；在緩速下降階段嫦娥三號的著陸軌道為一條豎直的直線，最優控制策略是保持主減速發動機的推力不變，使嫦娥三號在緩速下降過程中相對月球表面做勻減速運動。

結果分析

成功地對所給數據進行處理，并且運用一定的物理和數學知識確定了嫦娥三號各階段的著陸過程，同時運用了Excel、Matlab等軟件對問題做出精確的求解。根據所求結果知嫦娥三號著陸時間和實際著陸時間相差不大、在一定的誤差范圍內，驗證了所建模型的可行性；并確定嫦娥三號著陸軌道過程中6階段的具體方案和最優控制策略，達到了解決該問題的目的。

3靈敏度分析

研究思路和數據處理

在主減速和快速調整階段，可以利用單因素敏感性分析求解推力對最優解的敏感程度。利用Excel，分析推力 變化對主減速階段最優解的影響程度，見表1：

結果分析

由上述圖表可知，推力 對主減速階段和快速調整階段最優解的影響程度隨著變化幅度的增大而增大，從而可知，推力 在主減速和快速調整階段敏感度較高。

以上各模型在建模過程中應用相應的數學方法和軟件求解，具有一定的可行性。可以對嫦娥三號著陸軌道做出具體方案。首先，根據所給數據和著陸結果確定其初始位置和狀態；然后，對于嫦娥三號著陸階段過程，通過對每一階段的分開處理、運用不同的方法建立模型對其進行分開求解分析，同時運用軟件進行計算，使結果更加準確。最后運用相關軟件分析對問題求解結果的可行性和敏感程度，在保證所建模型準確的同時使結果更精確。

（作者單位：安徽財經大學統計與應用數學學院）