多元函數在經濟方面的應用初探

易強 呂希元

【摘要】經管類學生學習微積分的目的是為了將微積分的知識在經濟上有所應有，解決經濟方面的問題。借助二元函數的全微分和極值問題解決經濟上的近似計算和最大利益問題。

【關鍵詞】全微分 偏導數 極值 經濟函數

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0105-02

本文通過簡單介紹全微分和二元函數極值求法的相應理論和用法，用于經濟方面的簡單應用。

1.全微分

1.1定義：二元函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處的全增量

△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）

則可以表示為：

△z=A△x+B△y+o（？籽）

其中A，B與△x，△y無關，？籽=■，則稱z=f（x，y）在點（x0，y0）可微分，并將Aa△x+B△y稱為z=f（x，y）在（x0，y0）處的全微分，記作dz。

即：dz=A△x+B△y。

1.2定理：若函數z=f（x，y）在點（x0，y0）可微分，則A=fy′（x0，y0），B=y′（x0，y0）。

證明：由△z=A△x+B△y+o（？籽）.，令△y=0，則？籽=△x，從而：

fx′（x0，y0）=■■

=■■=A

同理可得：B=fy′（x0，y0）。

從而，當自變量的絕對值△x和△y趨近于0時，可以利用全微分作近似計算，即：

f（x0+△x，y0+△y）≈f（x0，y0）+fx′（x0，y0）·△x+fy′（x0，y0）·△y。

例1：計算1.023.96的近似值。

解：設f（x，y）=xy，則問題變為求函數在x=1.02，y=3.96時的近似值，

令x0=1，y0=4，△x=x-x0=1.02-1=0.02，△y=y-y0=3.96-4=-0.04，且f（1，4）=14=1，fx′（x，y）=y·xy-1，fx′（1，4）=4·13=4，fy′（x，y）=xy·lnx，fy′（1，4）=14·ln0=0。

從而：1.023.96≈1+4×0.02+0×（-0.04）=1.08。

例2：已知某工廠的產量Q為其投入的資金K和勞動力L的函數Q=f（K，L）。若Q（20，60）=2500（產量），QK′（20，60）=350（資金的邊際產出率），QL′（20，60）=270（勞力的邊際產出率），現在工廠準備擴大投入，使K=21，L=62，試計算擴大投入后，該廠產量及產量增量的近似值。

解：記K0=20，L0=60，△K=K-K0=1，△L=L-L0=2，QK′（K0，L0）=350，QL′（K0，L0）=270.

于是：△Q≈QK′（K0，L0）·△K+QL′（K0，L0）·△L

=350×1+270×2=890；

從而：Q（21，62）≈Q（20，60）+△Q=2500+890=3390。

2.二元函數的極值問題

2.1極值的充要條件：

設函數z=f（x，y），在點的某領域內連續，有一階及二階連續偏導數；設fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0。再令A=fxx″（x0，y0），B=fxy″（x0，y0），C=fyy″（x0，y0），從而f（x，y）在點（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1）若B2-AC<0時，具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值。

（2）B2-AC<0時沒有極值；

（3）B2-AC=0時可能有極值，也可能沒有極值。

對于一些實際問題存在最大值或最小值時，可以利用極值的方法求解，若解出有唯一的駐點，則在駐點處取得極大值，同時也是最大值；同理取得極小值的也是最小值。

例3：設生產某種商品需原料A和B，設A的單價為2，數量為x；而B的單價為1，數量為y，而產量為：z=20-x2+10x-2y2+5y，且商品售價為5，求最大利潤。

解：利潤函數為：

L（x，y）=5·（20-x2+10x-2y2+5y）-2x-y

=11-5x2+48x-10y2+24y

令：

Lx′=-10x+48=0Ly′=-20y+24=0

解得唯一駐點：（4.8，1.2）；令A=fxx″（x，y）=-10，B=fxy″（x，y）=0，

C=fyy″（x，y）=-20；所以：B2-AC<0，A<0，故唯一駐點為極大值點也為最大值點。

最大利潤為：L（4.8，1.2）=229.6.

3.小結

對經管院校的學生來說學好微積分對解決一些經濟問題很有好處，本文就是利用多元函數的知識解決了幾個經濟問題，當然微積分的作用遠大于此，實際上微積分在各門科學中都有應用。

參考文獻：

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