對一道數學中考壓軸題的探索

胡明鋒

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0103-01

有關二次函數的壓軸題，是一道函數與幾何的綜合題，它具有選拔功能，是數學思想的綜合運用題，它考查的知識點多、解題方法多、能力要求高，體現了數與形的巧妙結合。下面對2014年濰坊市數學中考最后一道題進行探索，讓我們來感受數學的魅力。

題目：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（-2，0），拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E。

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）平行于DE的一條動直線Z與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標。

分析：第（1）題由拋物線的對稱性易求出點B的坐標是（4，0），基礎知識掌握好的學生可以較快把拋物線的解析式正確求出。

第（2）題是面積問題。面積問題是中考的熱點問題，一般情況下，可以直接運用圖形的面積公式求；對于不規則圖形的面積可以利用“割補法”或“平行線法”進行轉化。有運動的題目要注意以靜求動。考查了方程、數形結合和化歸的數學思想。

第（3）題考查了方程和分類討論的數學思想。可以根據點P的橫坐標的取值范圍分類，也可以根據點P在點Q的上方或下方分類。

解法一：（1）由拋物線經過點C（0，4），對稱軸x=-■=1，

可得點B的坐標是（4，0），c=4 ① ∴ 16a+4b+c=0 ②

又拋物線過點A（-2，0）∴ 4a-2b+c=0，③ 由①②③ 解得：a=-■， b=1 ，c=4.

所以拋物線的解析式是y=-■x2+x+4

（2）假設存在滿足條件的點F，如圖所示，連接BF、CF、OF.過點F分別作FH⊥x軸于H，FG⊥y軸于G.

設點F的坐標為（t，-■t2+t+4），點M的坐標為（t，-t+4） 其中0∴S四邊形ABFC=S△AOC+S△OBF +S△OFC=■OA×OC +■OB×FH +■OC×FC=■×2×4 +■×4×（-■t2+t+4）+■×4×t=4-t2+2t+8+2t= -t2+4t+12.

令-t2+4+12 =17，即t2-4t+5=0，則△=（-4）2-4×5=-4<0，

∴方程t2-4t+5=0無實根。

故不存在滿足條件的點F.

（3）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），又過點B（4，0），C（0，4）

所以4k+b=0b=4，解得：k=-1b=4，

所以直線BC的解析式是y=-x+4.

由y=-■x2+x+4=-■（x-1）2+■得D（1，■），

又點E在直線BC上，則點E（1，3）， 于是DE=■-3=■

若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，因為DE∥PQ，只須DE=PQ

設點P的坐標是（m，-m+4），則點Q的坐標是（m，-■m2+m+4）.

易得 PQ=（-■m2+m+4）-（-m+4）=-■m2+2m

①當0