張杰

摘 要：利用B函數和Γ函數的定義和一些性質， 方便計算某些三角函數積分和反常積分，用以說明Euler函數的優越性。Γ函數和B函數最早由Euler引入，它作為一種特殊函數， 具備了豐富和優美的特征， 在數學的許多分支以及物理、工程等學科中都起著重要的作用。本文通過一些實例， 說明它的一些應用，對比出其優勢，旨在拋磚引玉。

關鍵詞：Euler積分；Γ函數；B函數

一、Euler積分[1]

含參量積分Γ（s）=∫xs-1 e-xdx（s>

0）。

B（p，q）=∫xp-1 （1-x）q-1dx（p>

0，q>0）。

在應用中經常出現，統稱為Euler積分，分別稱為Γ-函數與B-函數。

1.Γ-函數

（1）Γ（s）在定義域s>0內連續且可導。

（2）遞推公式 Γ（s=1）=sΓ（s）=

Γ（s）=（s-1）（s-2）…（s-n）Γ（s-n），

n∫e-xdx=1。

Γ（n+1）=n！

由于Γ（s）=—以及

Γ（1）=1，所以limΓ（s）=+∞。

（3）余元公式[2]。Γ（p）Γ（1-p）=

—（0