二重積分的計算方法

蔣銀山

【摘要】二重積分的計算方法有⑴利用直角坐標計算二重積分，⑵利用極坐標計算二重積分，⑶利用積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性計算二重積分，⑷利用分塊積分法計算二重積分，⑸利用坐標軸的平移計算二重積分。

【關鍵詞】二重積分;直角坐標;極坐標;平移及奇偶性

二重積分的計算方法有⑴利用直角坐標計算二重積分，⑵利用極坐標計算二重積分，⑶利用積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性計算二重積分，⑷利用分塊積分法計算二重積分，⑸利用坐標軸的平移計算二重積分。

計算二重積分有一定的步驟，我們大致分成4步。第一步：畫出積分區域 的草圖，判斷積分域是否有對稱性，被積函數是否有奇偶性;第二步：選擇坐標系;第三步：選擇積分次序;第四步：確定積分限并計算累次積分。

例題1.計算二重積分 其中積分區域 是由 與曲線 所圍成。

方法一：利用直角坐標計算二重積分

解：積分區域

=

方法二：利用坐標軸的平移及奇偶性計算二重積分

解：設 作坐標軸的平移，在 平面上積分區域為

① 關于 對稱，被積函數關于 是奇函數，

②

③

例題2.計算 其中積分區域 是由 所確定。

方法一：利用極坐標法計算二重積分

方法二：利用坐標軸的平移及極坐標計算二重積分

令 此時 ，則

方法三：利用坐標軸的平移及奇偶性計算二重積分

由于

利用奇偶性可得?而 ，則

方法四：利用積分區域的對稱性計算二重積分

解：積分區域 關于 對稱且為圓域故形心的坐標在圓心

其中 為積分區域 的形心的橫坐標。

例題3：求計算二重積分 其中積分區域 是由 及曲線 所圍成。

分析：若把 看成正方形的區域挖去半圓 ，則計算 上的積分自然選用極坐標變換，若只考慮區域 ，則自然考慮先 后 的積分次序化為累次積分，若注意 關于直線 對稱，選擇平移坐標變換則最為方便。

方法一：選擇先 后 的積分次序，則

方法二：方塊積分法及極坐標法

在極坐標下

方法二：利用坐標軸的平移計算二重積分

作平移變換則

參考文獻：

[1]李正元，李永樂，袁蔭棠：《 數學復習全書》，國家行政學院出版社，2013（2）.

[2]武忠祥，《高等數學強化講義》，西安交通大學出版社，2011（4）.