知識交匯處命題思維探究

朱天斌

從2016年起，全國大部分省份（包括湖北省）將使用全國卷，因此大家應該多研究教材，多體會近幾年的全國卷. 從總體情況看，新課標的文、理科數學試卷整體結構沒有變化，分值也保持不變，知識點的分布與覆蓋上保持相對穩定. 堅持對基礎知識，數學思想方法進行考查.

《數學課程標準》明確提出：“從學科整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度.”通過分析近幾年的高考試題，一些回歸教材的基礎題知識以及新題型、新思維的交織給新高考增添了許多魅力.具體體現在以下幾個方面.

概念遷移后與定性或定量思考交織，注意分析，淡化運算

例1 如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x. 將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則f（x）的圖象大致為（ ）

[A B C D]

解析 （1）當點[P]在[BC]邊上運動時，即[0≤x≤π4]時，

[PA+PB=tan2x+4+tanx].

（2）當點[P]在[CD]邊上運動時，即[π4≤x≤3π4.]

①[x≠π2]時，[PA+PB=（1tanx-1）2+1+（1tanx+1）2+1.]

②當[x=π2]時，[PA+PB=22].

（3）當點[P]在[AD]邊上運動時，即[3π4≤x≤π]時，

[PA+PB=tan2x+4-tanx].

從點[P]的運動過程可以看出，軌跡關于直線[x=π2]對稱，且[f（π4）>f（π2）]，且軌跡非線型.

答案 B

知識交織點 本題考查函數的圖象與性質， “P到A，B兩點距離之和”是橢圓概念的遷移，表面看覺得很難，但是如果認真審題，讀懂題意，通過點P的運動軌跡來判斷圖象的對稱性以及特殊點函數值的比較，也可較容易找到答案.

賞析 此題難點在于橢圓概念的遷移應用，若[P]在以[AB]為焦點的橢圓上，函數[f（x）]是定值（長軸長）. [P]點的變化分別對應了相應長軸長的變大→變小→變大→變小，具有對稱性且非直線型，所以選B. 類似的題目如2013年新課標Ⅰ卷理科第1題.

例2 已知函數[f（x）=2x]，[g（x）=x2+ax]（其中[a∈R]）.對于不相等的實數[x1，x2]，設[m=f（x1）-f（x2）x1-x2]，[n=g（x1）-g（x2）x1-x2]. 現有如下命題：

（1）對于任意不相等的實數[x1，x2]，都有[m>0]；

（2）對于任意的[a]及任意不相等的實數[x1，x2]，都有[n>0]；

（3）對于任意的[a，]存在不相等的實數[x1，x2]，使得[m=n]；

（4）對于任意的[a，]存在不相等的實數[x1，x2]，使得[m=-n].

其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

解析 設[A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x1，g（x1）），D（x2，g（x2））.]

對于（1），從[y=2x]的圖象可看出，[m=kAB>0]恒成立，故正確.

對于（2），直線[CD]的斜率可為負，即[n<0]，故不正確.

對于（3），由[m=n]得，[f（x1）-f（x2）=g（x1）-g（x2）]，

即[f（x1）-g（x1）=f（x2）-g（x2）].

令[h（x）=f（x）-g（x）=2x-x2-ax]，

則[h（x）=2xln2-2x-a].

由[h（x）=0]得，[2xln2=2x+a]，

作出[y=2xln2，y=2x+a]的圖象知，

方程[2xln2=2x+a]不一定有解，所以[h（x）]不一定有極值點.

即對于任意的[a]，不一定存在不相等的實數[x1，x2]，使得[h（x1）=h（x2）]. 即不一定存在不相等的實數[x1，x2]，使得[m=n]. 故不正確.

對于（4），由[m=-n]得，[f（x1）-f（x2）=g（x2）-g（x1）]，

即[f（x1）+g（x1）=f（x2）+g（x2）].

令[h（x）=f（x）+g（x）=2x+x2+ax]，

則[h（x）=2xln2+2x+a].

由[h（x）=0]得，[2xln2=-2x-a]，

作出[y=2xln2，y=-2x-a]的圖象知，

方程[2xln2=-2x-a]必一定有解，

所以[h（x）]一定有極值點.

即對于任意的[a]，一定存在不相等的實數[x1，x2]，使得[h（x1）=h（x2）].

即一定存在不相等的實數[x1，x2]，使得[m=-n]. 故正確.

答案 （1）（4）

知識交織點 以拉格朗日中值定理為背景，將導數、極值、不等式與數形結合交織考查.

賞析 高考四川卷第15題歷來是一個異彩紛呈的題，個中精彩可從解析中體會到. 解決本題的關鍵是轉化思想，通過轉化使問題得以解決. 如果數學知識非常豐富，直接從以拉格朗日中值定理入手，此題更易解答.

構造函數與分類討論，突破常規

例3 設函數[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點（1，[f（1）]）處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

解析 （1）[a=1，b=2.]

（2）由（1）知，[f（x）=exlnx+2xex-1].

從而[f（x）>1]等價于[xlnx>xe-x-2e].

設函數[g（x）=xlnx]，則[g（x）=1+lnx].

所以當[x∈（0，1e）]時，[g（x）<0]；

當[x∈（1e，+∞）]時，[g（x）>0].

故[g（x）]在[（0，1e）]上單調遞減，在[（1e，+∞）]上單調遞增.

從而[g（x）]在[（0，+∞）]上的最小值為[g（1e）=-1e.]

設函數[h（x）=xe-x-2e]，則[h（x）=e-x（1-x）.]

所以，當[x∈（0，1）]時，[h（x）>0]；

當[x∈（1，+∞）]時，[h（x）<0].

故[h（x）]在[（0，1）]上單調遞增，在[（1，+∞）]上單調遞減.

從而[h（x）]在[（0，+∞）]上的最大值為[h（1）=-1e.]

綜上，當[x>0]時，[g（x）>h（x）]，即[f（x）>1.]

知識交織點 本題考查導數的基本概念與導數在證明不等式中的應用.

賞析 在第二問的證明過程中將不等式分拆為兩個函數的最大值與最小值的比較，使整個問題得到巧妙的解決，特別是不等式中出現了[lnx]和[ex]相關表達式一般分解為兩個函數. 此種思考方式在2011年的遼寧卷，2013年的全國卷也有所體現.

例4 已知函數[f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx].用[minm，n]表示[m，n]中的最小值，設函數[h（x）=][minf（x），g（x）（x>0）]，討論[h（x）]零點的個數.

解析 （1）當[x∈（1，+∞）]時，[g（x）=-lnx<0]，

從而[h（x）≤g（x）<0]，則[f（x）]無零點.

（2）當[x=1]時，若[a≥-54]，

則[f（1）=a+54≥0]，[h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0]，

則[x=1]是[f（x）]的零點。

若[a<-54]，

則[f（1）=a+54<0]，[h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0]，

故[x]=1不是[h（x）]的零點.

（3）當[x∈（0，1）]時，[g（x）=-lnx>0]，

所以只需考慮[f（x）]在（0，1）上的零點個數.

（ⅰ）若[a≤-3]或[a≥0]，

則[f（x）=3x2+a]在（0，1）上無零點，故[f（x）]在（0，1）上單調.

而[f（0）=14]，[f（1）=a+54]，

所以當[a≤-3]時，[f（x）]在（0，1）上有一個零點；

當[a≥]0時，[f（x）]在（0，1）上無零點.

（ⅱ）若[-3則[f（x）]在（0，[-a3]）上單調遞減，在（[-a3]，1）上單調遞增，

故當[x]=[-a3]時，[f（x）]取得最小值，

最小值為[f（-a3）]=[2a3-a3+14].

①若[f（-a3）]>0，即[-34]<[a]<0，則[f（x）]在（0，1）上無零點.

②若[f（-a3）]=0，即[a=-34]，

則[f（x）]在（0，1）上有惟一零點.

③若[f（-a3）]<0，即[-3