三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問(wèn)題聚焦

劉海洋

高考對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查一般結(jié)合三角變換進(jìn)行，主要圍繞：y =A sin（ωχ+ψ）的解析式的確定、圖像變換（平移和伸縮）以及圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，凸顯整體變量觀念和數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。現(xiàn)聚焦2015年高考中三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)經(jīng)典問(wèn)題及其求解方法。

聚焦一：三角函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性

例1， （北京文）已知函數(shù)f（x）一sin x。

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在區(qū)間 上的最小值。

解析：（1）

則f（x）的最小正周期為2π。

（2）由o≤x≤ ，得 ≤ ≤π。

當(dāng) 即 時(shí)，f（x）取得最小值

感悟：對(duì)于三角函數(shù)中的最值、單調(diào)區(qū)間、周期等有關(guān)問(wèn)題，常常先進(jìn)行三角變換（逆用公式、降次、利用輔助角等），將表達(dá)式化歸為y=A sin（ωχ+ψ）+B.再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解。求最值時(shí)，有時(shí)需要把sinx.或COs x看成一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解，或利用sin x士cOs x和的關(guān)系轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問(wèn)題求解。

聚焦二：三角函數(shù)的圖像變換

例2（山東理）要得到函數(shù)y=sin的圖像，只需要將函數(shù)y=sin 4x的圖像（）。

A.向左平移π/12個(gè)單位

B.向右平移π/12個(gè)單位

C.向左平移π/3個(gè)單位

D.向右平移π/3個(gè)單位

解析：，所以要得到函數(shù) 的圖像，只需將函數(shù)sin 4x的圖像向右平移π/12個(gè)單位。

感悟：對(duì)于y=A sin（ωχ+ψ1）到.y=A sin（ωχ+ψ2）的圖像變換，設(shè) 當(dāng) 時(shí)，將y =Asin（ωχ+ψ1）的圖像上所有的點(diǎn)向左平移△x個(gè)單位；當(dāng)△x<0時(shí)，將y=A sin（ωχ+ψ1）的圖像上所有的點(diǎn)向右平移一△x個(gè)單位。

聚焦三：由圖像確定解析式

例3（新課標(biāo)版l理）函數(shù)f（x）一cos（ωχ+ψ）的部分圖像如圖1所示，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）。，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間

感悟：由圖像確定f（x）+cos（ωχ+ψ）的解析式，觀察圖像上的所有平衡點(diǎn)（零點(diǎn)），可以根據(jù)平衡點(diǎn)是在遞增的一段圖像上還是在遞減的一段圖像上進(jìn)行……