學生數學活動經驗積累的教學探析

張優幼 陳靈榮

【摘要】豐富學生的數學活動經驗，教師的引導作用不可忽視。數學活動經驗具有抽象性，需要教師引導學生在操作前進行猜想和思考，在操作后進行反思和比較;數學活動經驗的形成具有再生性，這需要教師能借助不同的形式引導學生經歷表征反復和自我迂回的過程。

【關鍵詞】數學活動經驗;抽象性;再生性;操作性反思;反思性操作

【中圖分類號】G623.5【文獻標識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0042-02

【作者簡介】1.張優幼，浙江省臺州市椒江區人民小學（浙江臺州，318000）副校長，高級教師，浙江省數學特級教師，浙江省小學數學專業委員會理事，浙江省教壇新秀，臺州市名教師;2.陳靈榮，浙江省臺州市椒江區海門小學（浙江臺州，318000）校長，臺州市名校長。

經驗，即由實踐得來的知識和技能，它既是一個結果又是一種經歷和體驗。數學活動經驗，也基于此。它是一種緘默知識，在數學活動過程中經歷和感悟，又在感悟中迸發出創造性思維的火花。如何將數學活動經驗融于課堂教學中，使其成為可操作、可觸摸的教學過程呢？本文試圖從學生認知的視角來闡釋數學課堂中學生活動經驗的積累方法和過程。

一、數學活動經驗具有抽象性，需要讓學生經歷操作性反思和反思性操作的過程

杜威認為：教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力。他認為經驗有兩重含義，一是經驗的事物，二是經驗的過程，強調經驗是人與環境主動互動的過程，這一過程融合了情感、意志、思維、實驗等理性和非理性因素。與數學概念、技能等顯性知識相比，數學活動經驗具有抽象性，它類似于水面下的冰山，有時能悟而不能言。

1.在操作活動前有目的地進行猜想和思考，有利于抽象操作性活動經驗。

通常認為，操作性活動經驗即通過眼、耳、口、手等感官操作現實素材獲得的直接經驗，如由堆積木、折紙等獲得的經驗。操作性活動經驗是形象思維經驗的基礎，通過操作加強感悟，這是低年級學生以直觀形象思維為主導、以直觀經驗為起點的年齡特征所決定的，也是學生參與知識形成過程的關鍵。但純粹的操作不利于數學的抽象和概括，需要學生在操作前進行思考，在操作后進行總結，思考性操作的過程可以在腦中完成，然后只要通過實驗去驗證一下就可以了。有目標、有思維深度的操作有利于培養學生的抽象思維能力。

一位教師教學“數與形的變換”時，就出現了讓學生從猜想到操作這樣精彩的一幕：

師出示4個一模一樣的等腰直角三角形。

師：2個這樣的三角形可以拼成什么圖形？

生：三角形、正方形、平行四邊形……

師：猜一猜，4個能拼成什么？在表格中做上記錄。

學生獨立思考后反饋：能拼成長方形，不能拼成圓形。當想象不能確定能否拼成正方形、三角形、平行四邊形或梯形，通過辯論也無法解決他們的疑惑時，實物操作就成了學生驗證猜想的必需工具。這時，教師宣布上課前發給學生的信封里有這樣4個小三角形，學生可以借助它們驗證自己的猜想，可想而知，此時的學生，反應是強烈的，行動是迫切的，情緒是高漲的，思維是積極投入的。

操作活動探究目的明確，有操作需求，是理解數學內涵所需要的。伴隨著思維活動的深入，學生嘗試解決問題的策略和方法給他們帶來的體驗是強烈的。

2.在操作活動后不斷進行反思和比較，有利于抽象反思性活動經驗。

積累活動經驗的過程始終需要思維的參與。通過思考思維材料獲得的經驗就是反思性活動經驗，如推理的經驗、抽象的經驗等。在實際情境中進行操作活動是低年級學生積累數學活動經驗的主要方式。但這并不意味著低年級的操作活動就不需要抽象，相反，通過分析和思考活動過程，可以讓問題解決的過程給學生留下更深刻的體驗。比如，為了幫助學生理解長方形“對邊相等”，可以設計如下操作活動：

學具準備：同桌兩人一份，每份8根小棒（長12cm、10cm、8cm、6cm的小棒各兩根）。

活動要求：同桌合作，每人4根，首尾相連搭成一個長方形。

學生活動生成：（1）同桌平均分，每人分到的是長12cm、10cm、8cm、6cm的小棒各一根，搭不成;（2）先是平均分，見搭不成長方形，交換后，搭成了長方形;（3）一次搭成長方形。

反思比較和抽象：（1）搭成長方形的學生談經驗;（2）搭不成長方形的學生談問題。

上述幾種生成，分別反映出處于不同思維層次的學生所經歷的思考過程。能一次搭成長方形的學生腦子里本身就有長方形特征的基本經驗;交換小棒后才搭成的學生對“對邊相等”的體驗相對深刻;對于搭不成長方形的學生來說，傾聽他人的經驗會讓他在自覺和不自覺中跟自己的經驗相比較，從而通過言語表達自我的內化過程。通過思考進行操作，通過操作促進思考，這操作后的反思，更有助于學生積累反思性活動經驗。

二、數學活動經驗具有再生性，需要讓學生經歷反復和迂回的過程

活動經驗的抽象、形成會有一定的反復和迂回過程。在這個過程中，學生不斷地經歷認知沖突，不斷地將新的經驗納入舊的經驗中，通過不同的形式逐漸內化為概括性的活動經驗圖式。

1.在不同的表征形式中經歷反復。

心理學家萊什提出了數學學習的五種表征：實物操作、圖像、文字符號、口頭語言、現實情境。在這些不同的表征形式中，任意兩種之間都可以相互轉化，對于同一種知識，學生可以體驗顯性的言語表達、欲言又止的緘默知識、形象的實物以及抽象的文字符號，在多種形式的表達中反復感知相關的內容，借助多元化的表征，讓相同的數學概念在不同的情境中反復，從而遷移運用先前的經驗，反思抽象，內化提升。如“乘法口訣”的理解和教學，就可以通過讀、寫、畫等數學活動表達口訣的意義。當我們說學生理解了乘法口訣時，在一定程度上就是指他們能夠理解與應用乘法口訣的不同表征。

2.在迂回的辨析中豐厚自我。

導致學生學習困難的內容通常有兩個特點：一是學生不熟悉，也就是學習內容與學生熟悉的知識和經驗缺少聯系;二是學習的內容比較復雜，也就是與之相關聯的因素較多。因此，基于學生的原有經驗進行的教學，更需要學生在經驗的迂回中自我感悟，在辨析中明晰數學知識的內涵。如教學“因數和倍數”，課尾，教師問道：“對這節課，大家還有哪些不明白的地方嗎？”有的學生舉手問：“以前我們可以說3是2的1.5倍，為什么今天練習時卻不能說3是2的倍數？”這位學生把原先的學習經驗與新的知識建立聯系并進行比較，積極地去理解新的知識——這里的“幾倍”與“倍數”是不同的概念，學生在自我迂回，不妨讓學生說說自己的想法，并引導其他學生來幫助他糾正錯誤。

總之，學生數學活動經驗的積累需要一個逐漸感知的過程，在此過程中萌發創造性思維，鏈接各個知識節點，促進知識遷移、方法提煉和能力的發展。