例談2015年高考試題中概率與其他知識點的交匯

文/王博蓉 文丹

一、概率與平面幾何的交匯

例1:(2015年湖北卷理數(shù))如圖1，在圓心角為扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ()。

解題思路:不妨設(shè)扇形OAB半徑為2。如圖1，記兩塊白色區(qū)域的面積為S1，S2;兩塊陰影部分面積為S3，S4;則S1+S2+S3+S4而S1+S3=S2+S3的和恰好為一個半徑為2的圓的面積，即① - ②得S3=S4。由圖可知所以S陰影=πa2-2a2。由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率

二、概率與立體幾何的交匯

例2:(2015年湖南卷理數(shù))四面體的一個頂點A和各個棱的中點共10個點

(1)從其它頂點與各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同取法有多少種?

(2)從中任取4個點，則這4個點恰好不共面的概率是多少?

解題思路:(1)(直接法)如圖2，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面共有中取法，例如從D、B、H、O、J中任取3個點必共面。含頂點A的三條棱上各有三個點，它們與所對棱的中點共面，共有3種取法，例如A、B、D、J必共面。根據(jù)分類計數(shù)原理，與頂點A共面三點的取法有+3=33種。

三、概率與線性規(guī)劃的交匯

例3:(2015湖北卷理數(shù))在區(qū)間［0，1］上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件的概率，p2為事件”的概率，p3為事件的概率，則 ()。

因為S△ABO=S△BEG=S△DGF=S△ACF，所以p2〈 p3〈 p1，故選B。

四、概率與復(fù)數(shù)的交匯

例4:(2015年陜西卷理數(shù))設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x，y∈R)，若，則y≥x的概率為 ()。

總之，在高考數(shù)學試卷中越來越重視在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)問，這不僅考查各知識點本身內(nèi)容，而且加強知識之間的聯(lián)系，體現(xiàn)知識的整體性和關(guān)聯(lián)性。可以說，今年高考概率題與線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)的交匯，是一種創(chuàng)新，它進一步拓展了概率與其它知識的聯(lián)系，優(yōu)化概率知識框架，有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育落實到教學的良好體現(xiàn)。