例談定積分的幾種解題方法

龔桂瓊

摘 要：定積分是數學課程的重要內容之一，其內容豐富，涉及領域也非常廣泛。本文主要對定積分的幾種解題方法進行了總結和分析，歸納出了定義類、幾何意義類、公式類、換元類、性質類、特殊類六種題型的解題思路與方法。

關鍵詞：定積分；定義類；幾何意義類；公式類；換元類；性質類；特殊類

定積分的解題方法非常多，本文只討論幾種題型，通過這幾種定積分的討論，望能加深讀者對定積分的理解，同時也提高對定積分理解能力。

一、定義類

利用定積分的定義求解定積分

例1：求解定積分

解：設f（x）=3x3

∵f（x）=3x3在[0，1]上連續；∴f（x）在[0，1]上可積；

將[0，1]進行等分，分點為■，k=0，1，2，3……n

在[■，■]中取ξk=■

注：此題也可以用其他方法求解。

二、幾何意義類

例2.試求f（x）=2sinx在[0，π]上的平均值。

解：設α為f（x）=2sinx在[0，π]上的平均值。

三、公式類

（一）Newlon-Leibniz公式。例3.已知函數f（x）的原函數為F（x），且F（3）=6，F（2）=4，試求 。解：Newlon-Leib

niz公式得： =F（x）=F（3）-F（2）=6-4=2

注：一般能求出原函數的題都可以嘗試用Newlon-Leibniz公式計算。

（二）富汝蘭公式。例4.計算積分

（c>0，d>0）。解：令f（x）=■-arctanx則f（x）在[0，+∞]上連續。

A>0都收斂

由富汝蘭公式得：

（三）遞推公式。利用分部積分，可以建立In關于下標的遞推公式。再根據此遞推公式，把計算In歸結為計算In-1，由此類推，最終歸結為計算I1，I0。

例5：求解定積分 解：先求

則

又

（四）復化梯形公式。當f（x）的原函數不易求出或找不到時，希望用一個易于求出原函數的函數來近似替代被積函數，從而得到定積分的近似計算公式。梯形公式：T=■（m-n）[f（m）+f（n）]。就是 常用的近似計算公式，這個梯形公式的余項為： 在[n，m]上選取a+1個等距節點：xt=a+th（t=0，1，2，3，……，n），其中h=■稱為步長。在每個小區間[xt，xt+1]上應用梯形公式，即得復化梯形公式

余項為 ，即

例6：求解定積分 解：取=■=■=0.125，節點xk=0+■t=■（t=0，1，2，……，8），被積函數f（x）=■在節點處的函數值分別為f（0）=2，f（■）≈1.96923，f（■）≈1.88236

f（■）≈1.75347，f（■）≈1.60000，f（5）≈1.43820，f（■）≈

1.28000，f（■）≈1.13275

則

（五）蒙特卡羅方法：此方法可以將積分變量轉化成概率密度函數，再利用切比雪夫大數定理，將基本的 近似轉化成： 類似的，計算定積分 可如下進行：

換元，令x=c+（d-c）m得： ，

…….（1）

例7：求 的近似值。解：從下隨機數表中取出20個數，t1，t2……t20，在（1）式中，d=0.2，c=0，n=20，x=■

例表計算如下：

由（1）：

四、換元類

（一）代數換元。例8：求解定積分

解： 則 ， ， ∵x從0到1 ∴t從1到2

（二）三角換元。例9：求解定積分

令x=sinx則dx=costdt

五、性質類

利用積分的性質，求解定積分

（一）對稱性。例10：求解定積分

解：令f（x）=cosx，易知為f（x）關于R的偶函數。

注：本題利用被積函數的對稱性，使得積分限減半，從而更輕松的求出答案。

六、特殊類

（一）可化為有理函數。例11：求解定積分

解：令

則

（二）含絕對值。例12：求解定積分

解：當-2≤x<0時，

當0≤x<2時，

綜上所述：定積分的計算方法有很多，但是定積分的題型是很有限的，只要我們牢固的掌握定積分的典型題型，再加以靈活運用，就能將所學的定積分知識融會貫通，正確的求解定積分。

參考文獻：

[1] 侯風波，高等數學[M].上海：上海大學出版社，2009

[2] 華東師范大學數學系主編，數學分析（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2001（2012.8重印）