多險種復(fù)合廣義齊次Poisson過程的破產(chǎn)概率

楊忻怡? 王志福 張拓

【摘 要】破產(chǎn)概率的計算是精算破產(chǎn)理論的經(jīng)典問題，對當(dāng)前保險經(jīng)營風(fēng)險的度量有重要的理論意義和參考價值。由于保險公司規(guī)模的不斷擴大，用單一的風(fēng)險模型來描述風(fēng)險過程存在局限性。本文建立了復(fù)合廣義齊次Possion過程的風(fēng)險模型，并對其索賠過程的性質(zhì)進(jìn)行了研究，討論了此模型的破產(chǎn)概率從而求出Lundberg上界和破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式。

【關(guān)鍵詞】多險種風(fēng)險模型 破產(chǎn)概率 Poisson過程

在保險風(fēng)險理論中，經(jīng)典模型[1]可由下式表示出來：

，

其中初始準(zhǔn)備金為 u，保費收入率為c，至?xí)r刻t發(fā)生的索賠次數(shù)為 ，表示第i次索賠的索賠額為 ， 其中ct為截止時刻t保險公司的保費總收入， 為索賠支付總額， 為總盈余，風(fēng)險過程的研究主要是根據(jù)索賠過程的直接假設(shè)[2]而研究的，在文獻(xiàn)（3）中，作者第一次提出基于進(jìn)入過程的新的風(fēng)險模型，并且精確地刻畫了保險公司的風(fēng)險行為，通過研究這種思想，本文研究了復(fù)合廣義齊次possion過程的風(fēng)險模型和索賠過程的性質(zhì)，并討論此模型的破產(chǎn)概率從而求出Lundberg上界和破產(chǎn)概率的一般表達(dá)式。

1 多險種的風(fēng)險模型

在保險的實務(wù)中，保險公司為了滿足各種類型顧客的需求會提供多種保險產(chǎn)品，從而提高公司的收益，此模型把保單的有效期，險種，保費相結(jié)合，提出了一個多險種的復(fù)合風(fēng)險模型，初始準(zhǔn)備金為 ，至?xí)r刻 第 類險種的投保次數(shù)為 ， 為第 類風(fēng)險的第 次投保量， ，且 。 為第 類風(fēng)險單位時間內(nèi)收到的保費， 為第 類風(fēng)險的第 次索賠隨機分布變量， 獨立同分布，且分布函數(shù)為 。至?xí)r刻 保險公司的 類風(fēng)險索賠支付總額為 ，然后盈余過程可以表述為：

U（t）=u+ - （1）

引理1 復(fù)合廣義poisson模型可轉(zhuǎn)換為經(jīng)典復(fù)合poisson模型，即有

其中 獨立同分布，且分布函數(shù) 。

由引理1，所建模型（1）式可以改寫為

U（t）=u+ - （2）

其中 。

為研究破產(chǎn)概率，作以下假設(shè)：

是一強度為 的poisson過程。

相互獨立。

令 ，根據(jù)假設(shè)，有

=

=

=

定義1 ：

（1） 破產(chǎn)時刻： =

（2） 最終破產(chǎn)概率：

2 破產(chǎn)概率的估計

定理1：對于風(fēng)險過程 ，存在函數(shù) ，使得

，

其中 為 的矩母函數(shù)。

證明 因為

，

定理自然成立。

定理2：方程 存在唯一正解R，R為調(diào)節(jié)系數(shù)

證明：

又 ， ，所以 為凸函數(shù)，從而方程 至多有兩個解。顯然 是平凡解，所以方程 有唯一正解，記為R.

定理3：對于盈余過程 ，令 ， ， ， ， ，則 是鞅，其中 。

證明： 對于任意 ，有

證畢。

定理4：考慮復(fù)合廣義Poisson過程的多險種模型（1），其破產(chǎn)概率為 （其中R為調(diào)節(jié)系數(shù)）。

證明： 記 對于任意時刻 ，則 是 的停時，根據(jù)鞅的停時定理[4]，有

（4）

以 表示集合A的示性函數(shù)有

由于 ，根據(jù)強大數(shù)定理得到當(dāng) 時 進(jìn)而由控制收斂定理得到

結(jié)合（4）得到

另一方面

=

從而

當(dāng) 時得

，取 ，則復(fù)合廣義poisson過程的多險種模型（1）的破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式 。

證畢。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳世學(xué).嚴(yán)穎 譯.GERBER H U.數(shù)學(xué)風(fēng)險論導(dǎo)引[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，1997；129-171.

[2]EMBRECHTS P.KLUPPELBERG C.MIKOSCHT.Modelling Extremal Events for Insurance and Finance[M]. Berlin： Springer Verlag，1997： 28-34.

[3]LI Ze-hui ZHU Jin-xia，CHEN Feng. Study of a risk model based on the entrance process [J].Statistics and Probability Letters，2005，72；1-10.

[4] 何聲武，謝盛榮，程依明 譯.ROSS S M.隨機過程[M].北京：中國統(tǒng)計出版社，1997：265-270.

作者簡介：楊忻怡（1990—），女，遼寧鐵嶺人，渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士研究生，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)（概率論與數(shù)理統(tǒng)計）。