一種基于靈敏度分析的模態擬合參數辨識算法

杜水淼

【摘 要】非線性系統辨識是結構動力學的一項重要研究內容。在復雜的廣域頻率系統中，針對全部未知參數的可追蹤性會隨著系統自由度的增加而急劇衰減。為了解決此類問題，通常根據所研究系統的幾何參數和動力學特性建立近似結構模型，然后應用模態校正法對近似模型的參數進行整定。對此，提出了一種基于靈敏度分析的模態擬合算法，綜合了系統留數靈敏度分析和模態擬合靈敏度分析的優勢，能夠有效地處理具有強烈非線性參數影響的模態擬合問題。在某型號發動機護板模型參數辨識問題中進行了仿真應用，結果顯示在中低頻范圍內該方法具有良好的應用效果。

【關鍵詞】 參數辨識 靈敏度 模態擬合 非線性

0引言

模態校正方法的核心在于校正參數的正確選取和模態的有效擬合[1]。Maia[2]等提出了一種基于頻響模型靈敏度分析的動態剛度矩陣參數校正方法； kozak[3]等提出了模態欠擬合最小化校正法，該方法利用頻響函數來代替模態數據，通過優化模態欠擬合指數來實現參數的整定；在針對病態的、具有強烈噪音信號的系統參數校正，Ahmadian[4]等提出了一種正交化優化方法來實現參數的合理選取和模態的有效擬合。

1 靈敏度分析

大型復雜系統通常具有大量的未知參數，但并非所有的未知參數都需要整定。針對待整定參數的選取應該遵循兩個基本的標準： 一是該參數具有可見性，即真實模型對該參數是”敏感”的；二是該參數與其他參數對真實模型的影響具有可區分性。對模型進行靈敏度分析可以有效地實現以上目標。常見的靈敏度分析方法有傳遞函數靈敏度分析，積分形式的靈敏度分析，直接近似靈敏度分析和伴隨狀態靈敏度分析方法等。通過模態分解，系統對參數的靈敏度可以表示為：

（1）

其中，p為待整定參數，φ和ω為各階實驗模態及其頻率，b和c分別為系統輸入矩陣和觀測矩陣。需要注意的是，隨著系統自由度的增多，對所有模態進行一一計算是不可行的，需要在指定頻域內進行模態截取并在誤差允許的范圍內進行靜態修正。

2 基于靈敏度分析的模態擬合方法

模態校正辨識法的主要思路是比較實驗模型（視為真實模型）與FEM模型之間的誤差，通過待整定參數的調節來使誤差最小化，從而達到參數辨識的目的。由于FEM模型的求解會產生無法預知的非物理模態或局部模態，因此并非FEM模型與實驗模型的所有模態都是可比較的。針對這一問題的解決辦法是在指定頻域內進行模態擬合。現有的模態擬合標準除了常用的模態確定準則（MAC）以外，還有在此基礎上演化出來的坐標確定準則（COMAC）和模態確定性貢獻準則（MACCO）。基于靈敏度分析的模態擬合方法綜合了靈敏度分析與模態欠擬合指標法，能夠有效地實現具有非線性參數影響下的模態擬合。其核心思想是在每一個載荷步，對模態欠擬合函數依據未知參數進行線性化處理，迭代求解直至收斂。經過線性化后約束方程可表示為[3]：

（2）

該方程在每個自由度上展開可得線性方程：

（3）

其中s為擬合指數靈敏度矩陣。需要注意的是，盡管擬合指數的靈敏度函數具有解析形式，但是在實際應用中通常利用微擾法進行數值計算。

3 在非線性系統參數辨識中的應用

本文研究以上方法在某型號發動機護板參數辨識中的應用。該發動機護板實驗模型由具有10%隨機噪音的FEM模型代替，待整定參數的FEM模型具有16844個自由度，74898個元素和29652個節點，材料為鋁合金AG11。

對降階模型進行參數靈敏度分析，可以選擇待整定參數并確定其近似值（見圖 1），進而建立系統的近似模型。靈敏度分析結果顯示本應用中待定參數可選為連接剛度和扭轉剛度。本例中的靈敏度分析通過模態分解法實現，降階模型由一系列不依賴于待整定參數的模態基構成，仿真結果顯示，使用多模態基構建的降階模型進行靈敏度分析結果更加準確。

圖 1參數靈敏度分析

依據模型對各個參數的靈敏度，確定參數校正的載荷步長。在每一個載荷步內，計算系統在各個模態的MAC值并依據式（2）和式（3）進行迭代求解直至達到預定的收斂條件，此時的模型即為得到校正的模型（見圖 2）。

圖 2校正前后的系統模態比較

結果顯示，在中低頻范圍內，系統校正效果非常好。在超高頻范圍內，該方法尚不能完全適用，原因是高頻區間存在的大量虛假模態和局部模態干擾了模態擬合的結果，出現了某一個真實模態對應多個數值模態或多個真實模態對應某一個數值模態的情況。為了避免此類干擾的出現，需要在模型構建初期進行相關處理以消除局部模態的產生，該部分不是本文的研究內容。

4 結論

針對系統進行靈敏度分析可以快速有效地選擇待整定參數并確定其取值范圍，針對模態擬合指數進行靈敏度分析可以有效地處理具有強烈非線性參數影響的模態擬合問題。本文提出了一種基于靈敏度分析的模態擬合算法并以某型號發動機護板的參數辨識為應用實例，成功實現了FEM模型的校正和參數的整定。仿真結果顯示，該算法在中低頻范圍內的應用取得了良好的效果，因而在實際工程上具有一定的指導意義。

參考文獻

[1]Kerschen， G.， Worden， K.， Vakakis， A. F.， & Golinval， J. C. （2007）.Nonlinear system identification in structural dynamics： current status and future directions. In 25th International Modal Analysis Conference.

[2]Maia， N. M. M.， & e Silva， J. M. M. （Eds.）. （1997）.Theoretical and experimental modal analysis （pp. 480-488）. Taunton： Research Studies Press.

[3]Kozak， M. T.， ?ztürk， M.， & ?zgüven， H. N. （2009）. A method in model updating using Miscorrelation Index sensitivity. Mechanical Systems and Signal Processing，23（6）：1747-1758.

[4]Ahmadian， H.， Friswell， M. I.， & Mottershead， J. E. （1998）. Minimization of the discretization error in mass and stiffness formulations by an inverse method. International Journal for Numerical Methods in Engineering，41（2）：371-387.