談以二次函數(shù)為背景的一道中考?jí)狠S題的命制

☉武漢市第六初級(jí)中學(xué)程松 青黃萍

談以二次函數(shù)為背景的一道中考?jí)狠S題的命制

☉武漢市第六初級(jí)中學(xué)程松 青黃萍

筆者多年在武漢六中這所百年名校任教初三數(shù)學(xué)，該校的學(xué)生大多為資優(yōu)生，他們對(duì)能解答出中考?jí)狠S題的要求都非常高，在多年的師生交流、互相學(xué)習(xí)中對(duì)中考?jí)狠S題的命制也慢慢積累了一些體會(huì).筆者所教的學(xué)生每年中考高分人數(shù)很多，常常是全班過半數(shù)學(xué)生可達(dá)110分以上，今年還有一名叫宋子寅的學(xué)生數(shù)學(xué)中考獲得滿分120分的耀眼成績(jī)，也因此產(chǎn)生了想寫寫對(duì)中考?jí)狠S題命制和教學(xué)的念頭.壓軸題是試卷命制的核心，一道壓軸題的定型，并不是一蹴而就的，而是在《課標(biāo)》和教材指導(dǎo)下的一個(gè)不斷改進(jìn)—反思—再改進(jìn)的創(chuàng)作過程，體現(xiàn)《課標(biāo)》和教材要求下的某種教學(xué)導(dǎo)向，本文想從一道以二次函數(shù)為背景的中考?jí)狠S題的命制和教學(xué)跟同行們交流，力求能引發(fā)大家對(duì)自己的教學(xué)方式方法的再思考.

一、研究“題源”

“題源”可以是課本中的一道題目，也可以是對(duì)某個(gè)概念、定義、定理的理解和演譯.“拋物線”的定義即“同一平面上到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離與到定直線（準(zhǔn)線）的距離相等的點(diǎn)的集合”.而二次函數(shù)的圖像就是一條拋物線，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖像的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在哪里？找到它，就是一個(gè)很好的“題源”，因?yàn)檫@里面重點(diǎn)知識(shí)豐富，能較好地匯合特殊三角形、四邊形、圓等圖形，能考查方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類等重要的數(shù)學(xué)思想，也能較好地兼顧基礎(chǔ)性和區(qū)分度.

圖1

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)線”與數(shù)“a、b、c”有怎樣的關(guān)系？當(dāng)a＞0時(shí)，如圖1，設(shè)點(diǎn)B為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸x=-與直線l垂直，垂足為點(diǎn)C，設(shè)AC=AB=t，過點(diǎn)B作BD∥l交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥l于點(diǎn)E，點(diǎn)E為垂足，由拋物線的定義知BD=DE，所以DB=DE=BC=2t，所以D把它代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=簡(jiǎn)得t=4at2.又因?yàn)閠＞0，所以

也就是說(shuō)，當(dāng)a＞0時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上，從頂點(diǎn)A向上移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度即為焦點(diǎn)（點(diǎn)B），向下移個(gè)單位即為準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)（垂足點(diǎn)C）.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c的開口向下，這時(shí)從頂點(diǎn)向上移動(dòng)-個(gè)單位長(zhǎng)度即為拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)（即垂足），向下移動(dòng)-個(gè)單位即到焦點(diǎn)的位置.與x軸的正半軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D.

（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

（2）過原點(diǎn)O任作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OB-BE或OB+BE能為定值嗎？請(qǐng)?zhí)骄克鼮槎ㄖ禃r(shí)的條件？

圖2

基于拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，筆者產(chǎn)生了如下命制方案.

例1如圖2，已知拋物線y=而頂點(diǎn)D（0，-1），點(diǎn)D向上移1個(gè)單位即為焦點(diǎn)O（0，0），向下移一個(gè)單位即到P（0，-2），即為準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，不妨畫出準(zhǔn)線l，延長(zhǎng)BE交l于點(diǎn)F，易得BF=BO.

當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB＞2或xB＜-2時(shí)，如圖3，OB-BE=BFBE=EF=OP=2為定值；

圖3

圖4

當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)-2＜xB＜2時(shí)，如圖4，OB+BE=BF+BE= EF=2為定值；

當(dāng)xB=±2時(shí)，點(diǎn)B、E、C重合，OB+BE=OB-BE=OC=2.

再看看如何證明OB=BF？

這樣的設(shè)計(jì)正好考查了有關(guān)拋物線的定義、勾股定理等重要數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)形結(jié)合、分類等重要數(shù)學(xué)思想，符合筆者最初的設(shè)計(jì)思路.但對(duì)方程思想體現(xiàn)不足，包括列方程、解方程、根與數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識(shí)的考查，所以還得進(jìn)一步編制第（3）小題.

二、延伸“題源”編題眼

最后一小題往往是壓軸題的題眼，通過一定圖形中有關(guān)角、線段、特殊圖形、相似、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)與方程建立聯(lián)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，形的運(yùn)用考查幾何基礎(chǔ)知識(shí)靈活運(yùn)用能力，數(shù)的處理考查方程思想，基于這樣的指導(dǎo)思想，我們提出以下兩種命題設(shè)計(jì)方案：

方案①如圖5，點(diǎn)P（0，-2），連接PA、PB，求證∠APO=∠BPO.

圖5

圖6

方案②如圖6，過P（0，-2）作直線交y軸右側(cè)的拋物線于M、N兩點(diǎn)，若MN2=PM·PN，求出直線MN的解析式.

方案①解析：設(shè)直線AB的解析式為y=k1x，直線PB的解析式為y=k2x-2，并設(shè)PB與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G，下面只需要證明點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于y軸對(duì)稱即可，這項(xiàng)證明可以通過求證A、G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，而橫坐標(biāo)互為相反數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn).

方案②解析：如圖7，分別過點(diǎn)M、N作MT⊥l于點(diǎn)T，NS⊥l于點(diǎn)S，首先根據(jù)比例性質(zhì)將需要證明的等式MN2=PM·PN，轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明ST2=PT· PS即可.（這一思想筆者通常稱之為“斜轉(zhuǎn)平”，就是將非平行于x軸的線段間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫杏趚軸線段間的關(guān)系）

設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為xM、xN，由ST2=PT·PS得，（xN-xM）2=xM·xN，所以（xN+xM）2=5xM·xN.

圖7

三、隱藏“題源”創(chuàng)題魂

在設(shè)計(jì)中考?jí)狠S題（即最后一小題）時(shí)，命題人常常將“題源”深深隱藏，必須對(duì)初中階段的核心知識(shí)和核心數(shù)學(xué)思想方法掌握得非常好，又有靈活運(yùn)用能力的學(xué)生才有可能解決，有很強(qiáng)烈的篩選尖子生的意圖.

在2014年中考最后的模擬階段（5月底），筆者在拋物線定義的啟示下，很好地隱藏了焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，命制了下面這道壓軸題，被市命題專家稱“這道題命得很有水平”的贊譽(yù).