齒輪箱振動信號的分數階時頻譜多重分形特征提取研究

張云強，張培林，吳定海，李 兵

（軍械工程學院車輛與電氣工程系，石家莊 050003）

齒輪箱振動信號的分數階時頻譜多重分形特征提取研究

張云強，張培林，吳定海，李 兵

（軍械工程學院車輛與電氣工程系，石家莊 050003）

針對齒輪箱振動信號的非線性和非平穩性，提出一種基于Q階加權矩結構分割函數法的分數階時頻譜多重分形特征提取方法。首先構造時頻分辨率較好的分數階S變換技術獲取齒輪箱振動信號的分數階時頻譜；然后針對分數階時頻譜的特點，設計出一種Q階加權矩結構分割函數法，用于提取分數階時頻譜的多重分形特征參數。對5種狀態的齒輪箱振動信號進行了分析和研究，結果表明齒輪箱振動信號的分數階時頻譜具有多重分形特性，Q階加權矩結構分割函數法提取的多重分形特征參數能有效描述分數階時頻譜的多重分形特征。

齒輪箱；時頻分析；多重分形；Q階矩結構分割函數法；分數階S變換

齒輪箱是機械設備中常用的傳動部件，其振動信號是一種典型的非線性、非平穩信號［1－2］。如何提取有效的特征參數描述不同狀態的齒輪箱振動信號，從而準確診斷和識別齒輪箱故障，一直是眾多研究人員致力追求的目標。

時頻分析技術能將信號映射到二維時－頻面內，從而有效描述信號的時頻局部特性，是處理非平穩信號的主要手段。目前，常用的時頻分析技術有短時Fourier變換、Wigner-Ville分布、小波變換和S變換等［3－6］。其中S變換是一種較新的時頻分析技術，雖然克服了短時Fourier變換和小波變換的不足，但是對高頻信號的頻率分辨率較差。分數階Fourier變換［7］作為Fourier變換的一種推廣，具有良好的時頻旋轉特性。為改善S變換對高頻信號的頻率分辨率，從而提高S變換整體的時頻分辨性能，利用分數階Fourier變換的時頻旋轉特性，設計了一種分數階S變換，并用于齒輪箱振動信號分析。

分數階時頻譜雖然能有效地描述信號的非平穩特性，但其維數較高，不能直接用于齒輪箱故障診斷。因此，還需要采用其它理論進一步挖掘分數階時頻譜中非線性特征，從而提取有效的特征參數。分形幾何理論是處理非線性信號的有力工具，并有研究表明齒輪箱振動信號具有多重分形特性［2，8］。鑒于此，本文引入多重分形理論提取分數階時頻譜的特征參數。典型的多重分形分析方法有小波模極大值法、形態學覆蓋法和Q階矩結構分割函數法（Q-MSPF）等［2，9－10］，其中QMSPF具有理論簡單、計算復雜度低等優點。由于基于振動信號分析的齒輪箱故障診斷比較關心的是信號頻率隨時間的變化情況，而不是信號采集的具體時刻，因此分數階時頻譜的時間和頻率信息具有不同的重要性，提取的特征參數應該具有時間平移不變性和頻率平移敏感性。若將傳統的多重分形分析方法直接應用于分數階時頻譜，所提取的多重分形特征難以滿足上述要求。

因此，本文在采用分數階S變換獲取齒輪箱振動信號分數階時頻譜的基礎上，針對分數階時頻譜的特點，對Q階矩結構分割函數法進行改進，提出一種基于Q階加權矩結構分割函數法的分數階時頻譜多重分形特征提取方法，并對5種狀態的齒輪箱振動信號進行了分析和研究。

1 分數階S變換

1.1 分數階Fourier變換和S變換簡介

分數階Fourier變換作為Fourier變換的廣義形式，可以根據需要將信號從時域變換到不同的分數階頻域，表現出良好的時頻旋轉特性。信號x（t）的分數階Fourier變換為［11］

式中，u為分數階頻率；Ka（t，u）為變換核，表達式為

S變換是近年來提出的一種較新的時頻分析技術，其時窗寬度隨頻率增大而減小，因而在低頻具有較高的頻率分辨率，在高頻具有較高的時間分辨率。信號x（t）的S變換為［6］

1.2 分數階S變換定義

為改善S變換對高頻信號的頻率分辨率，從而提高S變換整體的時頻分辨性能，結合分數階Fourier變換和S變換，定義分數階S變換如下

式中，u為分數階頻率；w（τ－t，u）為高斯窗函數，表達式為

式中，p為調整參數，p∈（0，1］。

由式（4）可知，分數階S變換的時窗寬度隨分數階頻率u的變化而改變，因而在分數階低頻具有較高的頻率分辨率，在分數階高頻具有較高的時間分辨率，繼承了S變換良好的時頻分辨性能。隨著變換階次a取值的不同，分數階S變換能將信號變換到不同的分數階頻域進行時頻分析，從而獲得最佳的時頻分辨性能。當a＝1且p＝1時，分數階頻域即傳統的頻域，此時分數階S變換退化為S變換。

2 Q階加權矩結構分割函數法

2.1 Q階矩結構分割函數法

Q階矩結構分割函數法（Q-MSPF）是一種借助統計學中樣本矩的概念，通過構造時間序列的結構方程來進行多重分形分析的方法。對于長度為N的時間序列xi，i＝1，2，…，N，Q-MSPF主要包括以下幾步［10，12］：

式中，q為實數。如果具有多重分形，Q階矩結構分割函數滿足以下標度特性

式中，τ（q）為質量指數。對于不同的q值，τ（q）可以利用最小二乘擬合的方法求得。如果τ（q）是q的線性函數，則時間序列具有單分形特性；否則，時間序列具有多重分形特性。據此可以判定時間序列是否具有多重分形特性。

（4）按照式（9）對τ（q）進行勒讓德變換得到多重分形奇異譜α（q）和多重分形譜f（α）。

式中，α稱為奇異指數。對于復雜的分形體，可以根據奇異指數將其劃分為一系列不同的子集。多重分形譜f（α）表示具有相同奇異指數α值的子集分形維數，描述了奇異指數α概率分布情況，是多重分形體不規則和不均勻程度的一種度量。

2.2 頻率加權的Q階加權矩結構分割函數法

由2.1節介紹可知，Q階矩結構分割函數法很容易從一維信號推廣到二維分數階時頻譜。但由Q階矩結構分割函數法提取的多重分形特征參數具有時間和頻率平移不變性，直接應用于分數階時頻譜，不利于齒輪箱故障信號分類和故障診斷。為此，本文提出一種頻率加權的Q階加權矩結構分割函數法（Q-WMSPF）。對于分數階時頻譜FrST（τ，u），Q-WMSPF的主要過程如下：

（2）將FrST′（τ，u）劃分成大小為s×s的子區域Dij，并按照公式計算各子區域Dij的概率測度

（3）構造頻率加權的Q階加權矩結構分割函數

式中，uij為子區域Dij的中心頻率。后續步驟同QMSPF，在此不再贅述。由此得到的多重分形奇異譜和多重分形譜分別稱為加權多重分形奇異譜和加權多重分形譜。

3 齒輪箱振動信號分析

本文所用齒輪箱振動信號采自于一個二級傳動齒輪箱，該齒輪箱由兩個直齒輪副組成，齒數分別為18／91和25／50，輸入軸的轉速為1 491 r／min。試驗中模擬并采集了齒輪箱在正常、中間軸齒根裂紋、中間軸齒面磨損、輸出軸齒根裂紋和輸出軸齒面磨損等5種狀態下的振動信號。采樣頻率和采樣長度分別為6 400 Hz和1 024個點。圖1為5種狀態下采集到的齒輪箱振動信號波形。

圖1 齒輪箱振動信號Fig.1 Gearbox vibration signals

3.1 齒輪箱振動信號的分數階時頻譜

對圖1中5種齒輪箱振動信號分別進行分數階S變換，獲取分數階時頻譜。對于同種狀態的齒輪箱振動信號，變換階次a和調整參數p取相同值，并且各狀態對應的參數取值通過多次實驗進行確定。最終，5種信號的分數階時頻譜如圖2所示，其中各子圖標題后面括號中的數字分別代表參數p和a的取值。

由圖2可以看出，不同狀態的齒輪箱振動信號的分數階時頻譜具有不同的能量分布，表現出不同的時頻特性。由此可知，采用分數階S變換獲取的分數階時頻譜能夠有效描述不同狀態的齒輪箱振動信號。

圖2 齒輪箱振動信號的分數階時頻譜Fig.2 The fractional time-frequency spectrums of gearbox vibration signals

3.2 分數階時頻譜的多重分形特性分析

利用Q-WMSPF研究分數階時頻譜的多重分形特性，要求Q階加權矩結構分割函數Zq（s）與s具有較好的對數線性關系。圖3給出了正常和中間軸齒根裂紋狀態下的分數階時頻譜對應的ln Zq（s）～ln s關系曲線，其中各子圖從上到下分別為q＝－5，－4，…，4，5對應的ln Zq（s）～ln s關系曲線。

由圖3可以看出，對于不同的權重因子q，ln Zq（s）與ln s均呈現出良好的線性關系。因此，可以利用QWMSPF對分數階時頻譜進行研究。

圖3 ln Zq（s）～ln s關系曲線Fig.3 The relationship curves of ln Zq（s）～ln s

下面，分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF對5種狀態齒輪箱振動信號的分數階時頻譜進行研究，結果如圖4～圖7所示，其中q的取值為－5：0.2：5，每種狀態的齒輪箱信號包含3個樣本。圖4和圖6是由Q-WMSPF得到的加權多重分形奇異譜和加權多重分形譜。圖5和圖7是由Q-MSPF得到的多重分形奇異譜和多重分形譜。

由圖4～圖7可以看出，隨著q絕對值的增大，加權多重分形譜和多重分形譜的譜值均趨于定值，并且在q絕對值較小的范圍內，譜值均隨著q的增大而迅速減小，呈現出類似于反余切曲線的變化趨勢；加權多重分形譜和多重分形譜均隨著奇異指數的增大，呈現出倒鉤狀。由此可知，分數階時頻譜具有多重分形特性，這與齒輪箱振動信號具有多重分形特性是一致的。

圖4 加權多重分形奇異譜Fig.4 Weightedmultifractal singular spectrums

圖5 多重分形奇異譜Fig.5 Multifractal singular spectrums

圖6 加權多重分形譜Fig.6 Weighted multifractal spectrums

圖7 多重分形譜Fig.7 Multifractal spectrums

進一步觀察可以發現，與多重分形奇異譜和多重分形譜相比，加權多重分形奇異譜和加權多重分形譜均表現出更好的類間分散性和類內聚合性，尤其在權重因子q較小和奇異指數α較大時對比十分明顯。因此，相比于Q-MSPF，由Q-WMSPF得到的多重分形奇異譜和多重分形譜具有更好的可區分性能。

3.3 多重分形特征參數選擇及性能分析

由多重分形理論可以形成一套描述多重分形體特征參數集合。常用的多重分形特征參數有αmax、αmin、 Δα、f（αmin）、f（αmax）、Δf和fmax，其中下標max和min分別代表最大值和最小值，Δα＝αmax－αmin，Δf＝f（αmin）－f（αmax）。根據圖4～圖7中加權多重分形奇異譜和加權多重分形譜的變化情況，本文選擇αmax、Δα、f（αmax）和Δf4個參數來描述齒輪箱振動信號分數階時頻譜的多重分形特性。為了便于區分和敘述，稱Q-WMSPF提取的特征參數為加權多重分形特征參數。

為研究加權多重分形特征參數的性能，對圖2所示的5個分數階時頻譜分別進行0.01 s、0.02 s、0.03 s 和200 Hz、400 Hz、800 Hz的平移處理，然后分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF提取以上4個多重分形特征參數，并對各參數進行方差分析。5個分數階時頻譜分析的平均結果見表1。

表1方差分析結果表明：①當分數階時頻譜發生時間平移時，Q-WMSPF和Q-MSPF提取的特征參數波動都比較小，在相同的平移幅度下，加權分形特征參數的波動小于分形特征參數的波動。在允許的誤差范圍內可以認為兩種方法提取的特征參數均具有時間平移不變性，并且加權分多重形特征參數的平移不變性稍好于多重分形特征參數。②當分數階時頻譜發生頻率平移時，Q-MSPF提取的特征參數波動很小，而Q-WMSPF提取的特征參數波動非常大，由此可知多重分形特征參數具有近似的頻率平移不變性，而加權多重分形特征參數具有頻率平移敏感性。

因此，與Q-MSPF相比，Q-WMSPF提取的多重分形特征具有更好的性能。它們受信號采樣的開始時刻影響比較小，同時對不同時刻信號能量分布在頻率軸上的變化比較敏感，更加有利于齒輪箱振動信號分析和故障診斷。

表1 方差分析結果（×10－4）Tab.1 The variance analysis results（×10－4）

3.4 齒輪箱振動信號分數階時頻譜特征提取

從齒輪箱振動信號中隨機選取200個樣本，每種狀態包含40個樣本，在利用分數階S變換得到分數階時頻譜的基礎上，分別采用Q-WMSPF和Q-MSPF提取αmax、Δα、f（αmax）和Δf 4個多重分形特征參數。由αmax、Δα和f（αmax）繪制的箱型圖見圖8，圖中不同符號代表不同狀態下的齒輪箱振動信號。

圖8 分數階時頻譜特征提取結果Fig.8 Feature extraction results of fractional time-frequency spectrums

從圖8可以看出，由于Q-WMSPF通過分數階時頻譜子區域中心頻率加權的方式構造了Q階矩結構函數，所提特征參數具有時間平移不變性和頻率平移敏感性，導致加權多重分形特征參數表現出比多重分形特征參數更好的類內聚合性和類間分散性。由此可知，Q-WMSPF提取的多重分形特征參數能更好地描述齒輪箱振動信號的分數階時頻譜的多重分形特征，因而是齒輪箱振動信號的一類新的有效特征參數。

4 結 論

針對非線性、非平穩的齒輪箱振動信號，本文提出了一種基于Q階加權矩結構分割函數法的分數階時頻譜多重分形特征提取方法。通過構造分數階S變換獲取齒輪箱振動信號的分數階時頻譜，而后采用Q階加權矩結構分割函數法提取分數階時頻譜的多重分形特征。齒輪箱振動信號研究結果表明：由于分數階S變換結合了分數階Fourier變換和S變換的優點，分數階時頻譜可以很好地表達齒輪箱振動信號的時頻局部特性；齒輪箱振動信號的分數階時頻譜具有明顯的多重分形特性；相比于Q階矩結構分割函數法，Q階加權矩結構分割函數法提取的多重分形特征參數具有時間平移不變性和頻率平移敏感性，能更有效地描述分數階時頻譜的多重分形特性。

［1］林近山，陳前.基于多重分形去趨勢波動分析的齒輪箱故障特征提取方法［J］.振動與沖擊，2013，32（2）：97－101.

LIN Jin-shan，CHEN Qian.Fault feature extraction of gearboxes based on multifractal detrended fluctuation analysis ［J］.Journal of Vibration and Sound，2013，32（2）：97－101.

［2］李兵，張培林，米雙山，等.齒輪故障信號多重分形維數的形態學計算方法［J］.振動、測試與診斷，2011，31（4）：450－453.

LI Bing，ZHANG Pei-lin，MI Shuang-shan，et al.Mathematicalmorphology based onmultifractal dimensions for gear fault diagnosis［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆Diagnosis，2011，31（4）：450－453.

［3］遲華山，王紅星，郭奇，等.短時傅里葉變換在線性調頻信號時頻濾波中的應用［J］.電訊技術，2012，52（2）：155－159.

CHI Hua-shan，WANG Hong-xing，GUO Qi，et al.Application of STFT in time-frequency filtering of LFM signals ［J］.Telecommunication Engineering，2012，52（2）：155 －159.

［4］蔡艷平，李艾華，石林鎖，等.基于EMD-WVD振動譜時頻圖像SVM識別的內燃機故障診斷［J］.內燃機工程，2012，33（2）：72－79.

CAIYan-ping，LI Ai-hua，SHI Lin-suo，et al.IC engine fault diagnosis method based on EMD-WVD vibration spectrum time-frequency image recognition by SVM［J］.Chinese Internal Combustion Engine Engineering，2012，33 （2）：72－79.

［5］馬倫，康建設，孟妍，等.基于Morlet小波變換的滾動軸承早期故障特征提取研究［J］.儀器儀表學報，2013，34 （4）：920－926.

MA Lun，KANG Jian-she，MENG Yan，et al.Research on feature extraction of rolling bearing incipient faultbased on Morletwavelet transform［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2013，34（4）：920－926.

［6］Djurovi I，Sejdi E，Jiang J.Frequency-based window width optimization for S-transform［J］.AEU-International Journal of Electronics and Communications，2008，62（4）：245－250.

［7］Ervin S，Igor D，Ljubisa S.Fractional Fourier transform as a signal processing tool：an overview of recent development［J］.Signal Processing，2011，91：1351－1369.

［8］Lin Jin-shan，Chen Qian.Fault diagnosis of rolling bearings based on multifractal detrended fluctuation analysis and Mahalanobis distance criterion［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013，38：515－533.

［9］Peng Z，Chu F，Tse PW.Singularity analysis of the vibration signals by means of wavelet modulus maximal method［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（2）：780－794.

［10］Zhang D T，Luo F.A new detectingmethod for weak targets in sea clutter based on multifractal properties［C］／／Proceedings of 2011 IEEE CIE International Conference on Radar，Chendu，2011：446－449.

［11］陶然，鄧兵，王越.分數階傅里葉變換及其應用［M］.北京：清華大學出版社，2009.

［12］孫康，金鋼，朱曉華，等.基于Q-MMSPF的海雜波多重分形互相關分析和目標檢測［J］.國防科技大學學報，2013，35（3）：170－175.

SUN Kang，JIN Gang，ZHU Xiao-hua，et al.Multifractal cross-correlation analysis of sea clutter and target detection based on Q-MMSPE［J］.Journal of National University of Defense Technology，2013，35（3）：170－175.

M ultifractal feature extraction for fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals

ZHANG Yun-qiang，ZHANG Pei-lin，WU Ding-hai，LIBing

（Department of Vehicle and Electrical Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

For the nonlinearity and nonstationarity of gearbox vibration signals，a multifractal feature extraction approach for their fractional time-frequency spectra based on a Qth order weighted moment structure partition function method was proposed.A fractional S transformation with better time-frequency resolution was firstly constructed to obtain fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals.Then，aiming at the characteristics of fractional timefrequency spectra，a Qth order weighted moment structure partition function method was designed to extractmultifractal features of the fractional time-frequency spectra.The gearbox vibration signals under five stateswere analyzed.The results indicated that the fractional time-frequency spectra of gearbox vibration signals have the multifractal features，and the extracted multifractal features using the Qth orderweightedmoment structure partition functionmethod canmore effectively describe themultifractal characteristics of fractional time-frequency spectra.

gearbox；time-frequency analysis；multifractal；Qth order weighted moment structure partition function method；fractional S transformation

TH113；TK411

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.014

國家自然科學基金資助項目（E51205405，51305454）

2014－06－30 修改稿收到日期：2014－11－06

張云強男，博士生，1987年9月生

張培林男，教授，博士生導師，1955年12月生