疊加法在繪制彎矩圖中的應用

詹景元　石煜威　朱芳振

摘 要：彎矩圖是結構力學最為重要和基礎的知識點，是后續變形和位移計算的關鍵內容。但是現在的大部分教材對于彎矩圖的繪制技巧和一些特殊情況的處理方法的介紹并不是很多，只是通過幾道例題去將彎矩圖的畫法展現出來，讓學生自己去理解，這便使得不少學生對于彎矩圖的繪制感到無從下手。文章通過對書本上例題的理解分析，總結出疊加法運用在繪制彎矩圖中的一些簡單的基本理念和分析方法。

關鍵詞：彎矩圖；疊加法；靜定結構

1 疊加法的介紹

1.1 疊加法的前提條件

材料力學討論的桿件均滿足幾個基本假設，其中，小變形假設是指構件在承受荷載作用時，所產生的變形和構件的原始尺寸相比非常微小。由于變形量微小，我們在研究桿件的支反力、內力、應力、變形等問題時都可以用構件的原始尺寸和形狀進行計算，不必考慮構件受荷變形后尺寸變化給計算帶來的影響。同時，采用構件的原始尺寸進行計算所得的支反力、內力、應力、變形均與梁上的荷載保持線性關系。

1.2 疊加法的使用條件

疊加法的理論依據就是疊加原理，它不僅可以用來梁的位移，也可用來計算梁的支反力、內力和應力；它不僅可用于梁，也可用于拉（壓）桿和其他結構。一般來說，當構件或結構上同時作用幾個荷載時，如果各荷載產生的效果（應力、反力、內力和位移等）互不影響（或影響甚小可忽略不計），則它們所產生的總效果即等于各荷載單獨作用時所產生的效果總和（或為代數和，或為矢量和，由所求的物理量的性質而定）。在土木工程實踐中，一般的梁工作時變形很小，由梁上荷載產生的剪力和彎矩與荷載呈線性關系，并且其跨長的改變可以略去不計。因此當梁上同時受到幾個載荷作用時，由每一個載荷所引起的梁的內力將不受其他載荷的影響，滿足疊加原理的條件，即可用疊加法來計算梁的內力（包括剪力、彎矩等）。

1.3 疊加法的使用準備

梁的內力采用疊加法來求解時，必須要對簡單梁承受單個基本荷載時的內力分布比較熟悉，這樣疊加計算才會比較簡單便捷。疊加法以一系列簡單梁承受單種荷載的彎矩圖為基礎，簡單梁包括簡支梁和懸臂梁，單種荷載包括單獨承受集中力荷載、分布荷載和外力偶作用。其實懸臂梁也可看成由一個普通的簡支梁和一個一端有外力偶作用的簡支梁疊加而成。因此，疊加法歸根結底的基本單元就是簡支梁，簡支梁的特點是兩端鉸支處無承受彎矩的能力，若鉸支處梁上無外力偶作用時，該處的彎矩值為零；有外力偶作用時，該處的彎矩值等于外力偶矩的值。利用這一特點，結合簡支梁承受簡單荷載時的彎矩圖，不難用疊加法做出其彎矩圖。

2 疊加法的運用

2.1 疊加法在靜定結構彎矩圖中的運用

在結構力學中靜定結構有靜定多跨梁和靜定平面剛架等，通常出現將結構簡化為由許多個簡支梁和懸臂梁組成，然后梁上作用有簡化后的各種均布荷載和集中力作用的情況。按照材料力學中的解法，要先求解所有的支反力，通過支反力與梁上各種荷載的關系做出梁的剪力圖，最后根據剪力圖的面積做出彎矩圖。

而運用疊加法就可以少求支反甚至不用求支反便可以做出彎矩圖，先選定梁上的一些控制截面，這些控制截面通常為結點處、集中力或力偶作用處，分布荷載的起點終點處的截面，然后根據這些控制截面判斷出與這些截面有關而且這段梁上的荷載比較簡單的支座，通過平衡關系求出其支反力，再取隔離體算出控制截面的彎矩值，將各個控制截面處的彎矩在彎矩圖上畫出來，并用虛線連接起來，將各個控制截面之間的梁上荷載作用產生的彎矩圖在虛線的基礎上疊加出來。將彎矩圖畫出之后，根據其斜率和剪力疊加的關系做出剪力圖，通過觀察在剪力圖上的剪力突變情況算出另外未求得的支反力，這樣就將結構的內力圖畫出來了，同時可以再根據平衡關系校核所求的內力和支反正確與否，提高了解答的正確性。

2.2 疊加法在超靜定結構彎矩圖中的運用

在解決靜定結構問題中，疊加法的優點不是那么突出，但是在解決超靜定結構的問題上，疊加法與普通的辦法相比就顯得容易許多。超靜定結構的代表就是連續多跨梁和超靜定鋼架，而且對于土木工程專業來說，超靜定的次數通常都是很高的。在這種情況下，一個一個去求解支座反力再通過剪力圖得到彎矩圖會很麻煩，會浪費大量的時間，顯然這種方法不合理。疊加法的應用使得問題大大簡單了，依然要先找出控制截面得到其彎矩的數值，疊加法的本質就是平衡，它通過疊加各種荷載產生的作用來求得各個截面的彎矩值，保證結構截面的彎矩值與實際值相符合，從而保證結果的正確性。如果先確保控制截面處的彎矩值求得正確，那么就可以將結構劃分為幾個區段，這些個區段都可以用一個兩端承受外力偶的簡支梁疊加出來，因為簡支梁的兩端是鉸支座并不能承受彎矩，所以將控制截面的彎矩值轉化為加在兩端的外力偶進行疊加，這樣便保證了沒有改變梁內截面的實際彎矩值這一基本條件。再通過區段疊加法和力法以及位移法，便能快速做出彎矩圖。

3 疊加法在使用時的注意事項

彎矩圖在繪制的過程中，彎矩圖的疊加是指豎標的相加而不是圖形的簡單拼合；為了順利地利用疊加法繪制彎矩圖，應牢記簡支梁在跨中荷載作用下的彎矩圖；對于任意直桿段，不論其內力是靜定的還是超靜定的，不論是等截面直桿或是變截面直桿，不論直桿段內各相鄰截面間是連續的還是定向聯結或是鉸聯結彎矩疊加法均使用。

在使用疊加法繪制彎矩圖前，關鍵在于要選定對的控制截面（結點、集中力作用點、集中力偶作用點、分布荷載的起點和終點），將結構分成若干段，由截面法或內力直接算式求出控制截面的彎矩值。對于無荷載區段，由兩端控制截面的彎矩值繪制出直線彎矩圖，而對于有荷載作用區段，用疊加法以簡支梁的基本受荷彎矩圖繪制出整體的彎矩圖。

4 結語

土木工程實踐中，對實際結構進行抽象簡化成結構簡圖，計算后做彎矩圖是工程設計中必不可少的步驟，而通過一步步利用力和力矩平衡方程求解支反，再做出剪力圖進而畫出彎矩圖在工程中是很難實現的，平衡方程太多還有聯立求解太過于麻煩都給彎矩圖的繪制帶來了太多麻煩。因此，充分利用疊加法來解決問題，不用或少用平衡方程，避免解題麻煩，就能獲得事半功倍的效果，同時也能培養我們深入分析問題繼而用更合適的方法解決問題的能力。

參考文獻

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[4] 唐力軍，黃哲君，常建萍.桿系結構的內力圖[J].黑龍江水專學報， 2002.

作者簡介：詹景元（1994.09- ），男，河南固始人，鄭州大學土木工程學院2012級本科生，土木工程專業；石煜威（1994.01- ），男，河南滎陽人，鄭州大學土木工程學院2012級本科生，土木工程專業；指導老師：朱芳振。