基于變頻率區間約束的結構材料優化設計

趙志軍，榮見華，黃方林，俞燎宏

(1.中南大學土木工程學院，長沙 410000;2.長沙理工大學汽車與機械工程學院，長沙 410076; 3.長沙學院土木工程系，長沙 410003)

基于變頻率區間約束的結構材料優化設計

趙志軍1，3，榮見華2，黃方林1，俞燎宏2

(1.中南大學土木工程學院，長沙 410000;2.長沙理工大學汽車與機械工程學院，長沙 410076; 3.長沙學院土木工程系，長沙 410003)

針對頻率約束的結構材料優化問題，基于結構拓撲優化思想，提出變頻率區間約束的結構材料優化方法。借鑒均勻化及ICM(獨立、連續、映射)方法，以微觀單元拓撲變量倒數為設計變量，導出宏觀單元等效質量矩陣及導數，進而獲得頻率一階近似展開式。結合變頻率區間約束思想，獲得以結構質量為目標函數、頻率為約束條件的連續體微結構拓撲優化近似模型;采用對偶方法求解。通過算例驗證該方法的有效性及可行性，表明考慮質量矩陣變化影響所得優化結果更合理。

微結構;拓撲優化;頻率約束;材料設計

對有序多孔材料靜態彈性行為及動力學分析研究，由性能分析到實驗制備等獲得大量成果［1－2］。由于有序多孔材料構成的復雜大型結構離散完全計算量巨大，等效連續介質分析方法研究取得較大進展。其中，代表體單元法(Representative Volume Element，RVE)及數學均勻化方法為兩種求解周期性多孔材料等效材料特性的代表性方法。基于小參數展開理論的均勻化方法具有較嚴格的數學基礎，廣泛用于復合材料彈性常數預測。均勻化理論將周期性多孔材料結構力學分析問題分解為微結構與宏觀結構問題，并通過微結構的等效材料特性及特征位移(稱影響函數)實現兩尺度有限元分析耦合。Xing等［1］提出周期性復合材料的高效近似分析方法，如特征單元(eigenelement)法與基于高階單元的serendipity特征單元法等。Sigmund［3］提出的復合材料微結構單胞拓撲優化設計理論，已躋身材料研究領域前沿。Hassani等［4－5］對均勻化理論進行過系統闡述。Niu等［6］采用均勻化方法進行結構最大自然頻率兩種尺度拓撲優化設計。Huang等［7］基于漸進結構優化方法(Evolutionary StructuralOptimization，ESO)進行最大剛度的結構材料設計。Zuo等［8］采用漸進優化方法實現結構最大自然頻率的多尺度拓撲優化設計。然而，該方法忽略了結構質矩陣變化影響。盡管已開展基于拓撲優化的材料設計，但涉及結構頻率要求的材料設計較有限。

本文借鑒均勻化方法及ICM(獨立、連續、映射)方法，以微觀單元拓撲變量倒數為設計變量，從有限元基本理論出發，推導出宏觀單元等效質量矩陣及導數，結合等效彈性模量顯示表達［4－5］，獲得頻率的一階近似顯式展開式。結合變頻率區間約束思想，獲得以結構質量為目標函數、頻率為約束條件的連續體微結構(即材料)拓撲優化近似模型，并采用對偶方法進行求解。利用兩算例驗證本文方法的有效性與可行性。

1 微觀尺度下單元拓撲變量與過濾函數

設宏觀結構由周期性多孔材料組成。基于代表體單元法及數學均勻化方法思想，宏觀結構由宏觀單元構成，而宏觀單元作為微觀結構(即材料)由微觀單元構成。設第s號微觀單元的拓撲變量為t。用過濾函數fD(t)識別第s號微觀單元彈性矩陣、fm(t)識別第s號微觀單元密度。單元材料特性參數識別式為

式中:［D0］為微觀單元固有彈性模量矩陣;ρ0為微觀單元固有材料密度;［Ds］為識別后彈性模量矩陣;ρs為識別后材料密度。

密度及彈性模量矩陣的過濾函數分別采用分式有理式與冪指數函數形式，即

本文算例中取v=3.5，α=1.0。

2 微觀尺度下頻率近似顯式表示式

2.1 宏觀結構總剛度陣對微觀單元設計變量導數

宏觀尺度下，第i號宏觀單元剛度矩陣［2－3］可表示為

式中:Vi為第i號宏觀單元體積;[B]為宏觀單元應變矩陣;［D］H為宏觀單元等效彈性模量矩陣［4－5］，表示式為

式中:［D］H為宏觀結構等效彈性模量矩陣;Y為單胞(宏觀單元)體積(對均勻劃分的結構單元網格，Y= Vi);［D］為微觀結構基材料的彈性模量矩陣;［b］為微觀結構基材料應變矩陣;［u］為初應變場引起的位移場;S為單胞內微觀單元個數;［us］為第s個微觀單元節點位移向量;［bs(ξk，ηr)］為第s個微觀單元高斯積分點(ξk，ηr)(對二維問題)處應變矩陣;Hk，r為積分權系數;ns為高斯積分點個數，本文ns=2;Ys為第s個微觀單元體積。

為求解［u］，需在微觀單元結構上施加初應變場，其等效節點荷載計算式為

式中:［P］為初應變場等效節點荷載;［ε0］為應變場，對平面應力問題，{1，0，0}T，{0，1，0}T，{0，0，1}T為［ε0］的列向量。

類似，式(7)可表示成第i號宏觀單元的高斯積分求和形式。宏觀整體剛度矩陣對微觀單元設計變量的導數可表示為

2.2 宏觀結構整體質量陣對微觀單元設計變量導數

宏觀單元任意點單位體積的慣性力可表示為

宏觀單元慣性力形成的節點力向量可表示為

式中:Vi為第i號宏觀單元體積。

宏觀尺度下，第i號宏觀單元等效質量矩陣可表示為

宏觀整體質量矩陣對微觀單元設計變量的導數可表示為

2.3 頻率一階近似展開式

結構頻率對微觀設計變量的導數為

式中:{φj，i}為第j階振型向量與第i號單元相關部分。進而可得頻率一階近似展開式為

3 變頻率區間約束優化模型處理及求解方法

設結構宏觀單元個數為N，每個宏觀單元劃分為S個微觀單元，其單元編號可設為s(s=1，2，…，S)。其中J為頻率約束階數;t為第s個拓撲變量;為其下限;w為第i個宏觀單元第s個單元固有重量。優化求解模型為

式中:β1，β2為頻率約束限變化因子，可在0.02～0.08間取值。變頻率區間限ω，ω在一輪優化迭代中不變，在下一輪優化迭代中ω，ω按式(18)變化，為頻率約束的下、上限值。

由于頻率與質量矩陣、剛度矩陣的關聯性，優化求解過程中頻率變化趨勢具有雙方向性特點。本文采用式(18)變區間約束方式將每一迭代步頻率變化控制在一定范圍內，該方式既能較好模擬頻率變化的雙方性特點，又能保證一階近似展開式成立，可有效避免目標函數振蕩現象。

式(17)的求解可轉化為

為處理優化結構的棋盤格問題，采用類似于文獻［10］方法，對式(19)中所有非人工材料單元對應的Asj，Bsj，Csj，as，bs進行修正;將修正后Asj，Bsj，Csj，as，bs代入式(15)。采用對偶理論將模型(19)的規劃問題轉化為對偶規劃問題求解，即

取φ(λ)的二階近似并略去常數項，獲得二次規劃模型為

解此二次規劃，求出λ，再由K－T條件求出x*、由x=1/ts求出t*，對結構進行修改，通過式(18)近似算出約束頻率限，獲得式(19)的各系數，重復求解λ及t*直至‖xs+1－xs‖/‖xs‖≤ε3(s為本輪循環迭代次數，ε3為初始給定小量)終止本輪循環迭代，并將該迭代解用t(k+1)表示。

4 優化求解程序設計

針對微觀結構優化問題，優化設計流程見圖1。

圖1 優化設計流程圖Fig.1 Flow chart of the optimization design

5 算例

5.1 算例一

圖2(a)為80 m×40 m平面應力梁，兩端固支，厚度1 m，彈性模量E=1 Pa，泊松比υ=0.3，密度ρ=1.0 kg/m3。宏觀設計區域劃分為80×40有限元網格，將單胞劃分為40×40有限元網格，見圖2(b)。

以宏觀結構重量為目標函數、第一階自振頻率為約束條件，約束限值取=0.01 rad/s，=0.02rad/s。宏觀尺度80 m×40 m兩端固定梁微觀結構優化進化歷程見圖3，重量進化歷程見圖4，基頻進化歷程見圖5。本文優化結果與文獻［8］優化結果對比見圖6。本文第33迭代步所得結構重量及頻率較接近文獻［8］結果，但結構最優拓撲有所區別，體現出考慮質量矩陣對設計變量導數項所致優化結果的不同。因此忽略質量矩陣一階量會產生誤差。

圖2 初始設計區域Fig.2 Initial design domain

圖3 宏觀尺度為80×40微觀結構進化歷程Fig.3 The optimization history of micro structure of the 80×40 double－clamped beam

圖4 結構重量進化歷程Fig.4 History of weight fraction

圖5 結構基頻進化歷程Fig.5 History of fundamental frequency

圖6 采用不同優化方法所獲得優化結果的對比Fig.6 Comparison on different designs by using different optimization method

5.2 算例二

圖7(a)為60 m×60 m平面應力梁，兩端固支，厚度1 m。設彈性模量E=1 Pa，泊松比υ=0.3，密度ρ= 1.0 kg/m3。宏觀設計區域劃分為60×60有限元網格，將微觀單胞劃為40×40有限元網格，見圖7(b)。以結構總重量為目標函數、第一階自振頻率為約束條件，約束限值取=0.02 rad/s，=0.03 rad/s，宏觀尺度為60 m×60 m兩端固定梁微觀結構優化進化歷程見圖8，重量進化歷程見圖9，基頻進化歷程見圖10。

圖7 初始設計區域Fig.7 Initial design domain

圖8 宏觀尺度為60×60微觀結構進化歷程Fig.8 The optimization history of micro structure of the 60×60 double－clamped beam

圖9 結構重量進化歷程Fig.9 History of weight fraction

圖10 結構基頻進化歷程Fig.10 History of fundamental frequency

6 結論

針對頻率約束拓撲優化問題，提出變頻率區間約束的連續體微觀結構拓撲優化方法，并給出兩算例。結論如下:

(1)所提方法能有效優化設計考慮頻率約束的連續體微觀結構。

(2)在頻率近似式中，考慮宏觀單元等效質量矩陣的一階量影響，可使優化近似模型更有效，更能避免目標函數振蕩現象發生。

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XING Xiao－juan，RONG Jian－hua，DENG Guo.A structural topologic optimization method based on varying frequency constraint limits［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(10):56－60.

Topology optimization of micro structures with varying frequency interval constraints

ZHAO Zhi－jun1，3，RONG Jian－hua2，HUANG Fang－lin1，YU Liao－hong2
(1.School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410000，China; 2.School of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410076，China; 3.Department of Civil Engineering，Changsha University，Changsha 410003，China)

Based on the idea of structural topology optimization，a structural material optimization method considering varying frequency interval constraints was proposed.By use of homogenization and ICM(Independence，Continuity and Mapping)method，the effective mass matrix and its derivatives were established by taking the reciprocal topological variables of micro structural elements as design variables，and the first order approximate explicit functions of frequency interval constraints were constructed.Integrating with the idea of varying frequency interval constraints，a topological optimization model of micro structures was formed by taking the structural mass as objective function and the frequency as constraint function.Here，a dual solving method was adopted.The results of two examples show that the proposed method is feasible and effective，and the optimal result obtained by the proposed method，where the variation of mass matrix is considered，is more reasonable.

micro structure;topology optimization;frequency constraint;material design

TU311.3;TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.018

國家自然科學基金項目(11372055，51228801);長沙理工大學橋梁工程湖南省普通高校重點實驗室開放基金(10KA07);長沙學院科研基金項目(CDJJ－10010110)

2013－11－08修改稿收到日期:2014－01－28

趙志軍男，博士生，講師，1982年2月生

榮見華男，博士，教授，1963年7月生

郵箱:rongjhua@yahoo.com.cn