懸臂Kagome夾心板獨立模態空間振動控制研究

郭空明，江俊

(1.西安電子科技大學機電工程學院，西安 710071;2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

懸臂Kagome夾心板獨立模態空間振動控制研究

郭空明1，2，江俊2

(1.西安電子科技大學機電工程學院，西安 710071;2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，西安 710049)

針對懸臂板撓度大、低頻振動突出問題，對懸臂Kagome夾心板的振動主動控制進行研究。建立結構及壓電作動器有限元模型;將獨立模態空間控制與模態觀測器相結合，提出懸臂Kagome夾心板的主動控制策略;針對突風載荷作用下夾心板基于獨立模態空間的振動控制進行仿真，重點研究觀測器極點對控制效果影響。結果表明，所提控制方法能顯著提高懸臂Kagome夾心板結構的阻尼特性，觀測器衰減系數越大控制效果越好;該夾心板在振動控制方面較傳統板結構優勢明顯。

懸臂板;Kagome夾心板;獨立模態空間控制;模態觀測器

航空航天領域新材料作用日漸突出。Kagome夾心板［1］作為超輕多孔材料除具有輕質、高比剛度、高比強度等優越性能外，在振動控制方面亦具有明顯優越性。普通板結構振動控制一般通過表面粘貼約束層阻尼或壓電片實現，不僅影響板面的平整性亦增加質量及厚度。而Kagome夾心板板面被Kagome類型平面桁架代替，通過將一小部分桁架替換成作動器，可實現板面高效變形。因此若將少部分桁架替換為阻尼器或作動器，便可分別實現被動［2］與主動控制［3］。該方法所需作動器、阻尼器數較少，安裝方便，且不影響板面形狀。

外伸式懸臂薄板為航天航空領域中常見結構。如無人機機翼、衛星太陽能帆板、板狀天線等。由于航天航空對重量的限制及此類結構一般無需承受較大載荷致其剛度較低，在受擾動時易引發衰減緩慢的低頻振動，需進行減振設計。傳統的振動抑制方法有動力吸振［4］、被動控制［5］、主動控制［6］及半主動控制［7］等。動力吸振及半主動控制因會顯著增加結構質量而在航空航天領域中應用較少。被動耗能控制對高頻振動抑制效果較好，而對低頻效果則不佳。故在航天航空領域中，振動主動控制方法逐漸受到重視。

在結構振動中能量往往集中于少數幾階模態，一般為低階模態。尤其對自由響應而言，由于結構自身阻尼作用，高階模態振動較快衰減，故在振動主動控制中往往只需控制少數低階模態。獨立模態空間控制［8］(IMSC)即為模態控制方法。該方法計算量小、針對性強且可靈活選擇控制律，已成為主動控制的常用方法。因模態坐標無法由傳感器直接測得，故IMSC需與模態濾波器［8］或模態觀測器［3］結合使用。

本文基于懸臂Kagome夾心板有限元模型，以抑制突風載荷下結構豎向位移、轉角為目的，用IMSC對夾心板進行振動控制，以控制力上限最小化為準則對作動器位置進行優化，并著重研究模態觀測器增益與控制效果之關系。

1 Kagome夾心板及壓電作動器有限元模型

1.1 懸臂Kagome夾心板有限元模型

Kagome夾心板由面板、四面體狀夾心層(灰色)及Kagome平面桁架(黑色，桁架在形狀、尺寸及材料上完全相同)構成，見圖1。

圖1 Kagome夾心板示意圖Fig.1 Schematic of Kagome sandwich plate

本文研究的Kagome夾心板結構有限元模型見圖2。模型由PATRAN建立，面板離散為918個cquad4單元;桁架均用cbar單元，共2 556根，其中Kagome桁架1 278根。板、桁架規格見表1。計算所得前四階模態固有頻率及振型見圖3，其中A、B兩點為結構響應觀測點。由圖3看出，懸臂夾芯板固有頻率較低，尤其第一階僅4.9 Hz。第一階模態振型為一階彎曲，第二階模態振型為一階扭轉，三、四階模態為高階彎曲與彎扭組合。由于結構振動頻率較低，適合用主動振動控制方法。

圖2 懸臂Kagome夾芯板及Kagome平面桁架有限元模型Fig.2 Finite element models of cantilever Kagome sandwich plate and Kagome planar truss

表1 面板、桁架材料及尺寸Tab.1 Material parameters and size of face sheet and truss rods

圖3 懸臂Kagome夾心板1～4階模態固有頻率及振型Fig.3 Natural frequencies and modal shapes of mode 1～4 of cantilever Kagome plate

1.2 壓電作動器有限元模型

本文用壓電作動器進行主動控制。忽略壓電單元自感應電場。壓電堆動力學方程［9］為

式中:ρ為壓電堆密度;A為壓電堆截面積;L為壓電堆總長;x1，x2為壓電堆兩端點位移;cE33為常電場E作用下壓電堆軸向彈性模量;n為壓電堆所含壓電片個數;d33為壓電應變系數;φ為壓電片兩端電勢差。

壓電作動器結構見圖4。其中預壓彈簧可使壓電堆處于受壓狀態，使作動器既可產生推力也可產生拉力;球鉸用于防止壓電堆受到彎曲、扭轉作用。

圖4 壓電作動器示意圖Fig.4 Sketch of the piezoelectric actuator

結合連桿和及壓電堆有限元模型，并凝聚掉內部自由度，得壓電作動器在局部坐標下的有限元模型為

式中:［Me］為質量矩陣;［Ke］為剛度矩陣;［Kce］為位移變量與電勢變量耦合矩陣;{qe}為位移向量;φ為電勢變量。矩陣［Me］，［Ke］，［Kce］表達式為

式中:k1，k3為兩連桿剛度;k2為壓電堆、外套及預壓彈簧等效剛度;mp為壓電堆質量;m1，m3為兩連桿質量;mt為外套及預壓彈簧總質量。其它部件質量較小，可忽略。

在設計尺寸下作動器軸向剛度與原桿件軸向剛度基本一致，替換作動器幾乎不對結構動力學特性產生影響。當外加電壓為V時φ=－V，作動器作動力為

2 振動主動控制方案

2.1 獨立模態空間控制

不考慮外部載荷，含作動器的結構方程為

式中:{q}為節點位移向量;{q·}為速度向量;{q··}為加速度向量;［M］為質量矩陣;［D］為阻尼矩陣;［K］為剛度矩陣;［Bs］為作動器空間耦合矩陣;{u}為控制力向量;{yd}為位移觀測向量;{yv}為速度觀測向量;［Cd］為位移觀測矩陣;［Cv］為速度觀測矩陣。

IMSC所需作動器及傳感器數目相等，均等于需控制的模態數。將全部模態分為控制模態與剩余模態兩類，下標c，r分別對應控制模態、剩余模態。設［ψ］為系統模態矩陣，含控制模態［ψc］及剩余模態［ψr］兩部分，令

式中:{qm}為模態位移向量，含控制模態{qmc}及剩余模態{qmr}兩部分。

將式(5)代入式(4)，用［ψ］T左乘式(4)第一方程，得

在IMSC中據模態位移、速度求得所需模態控制力向量{fc}，再求出物理控制力向量{u}。設控制模態數為n，則式(8)含n個由控制模態組成的獨立方程，第i階模態方程為

2.2 模態觀測器

一般情況下，模態坐標下位移、速度等無法直接測得。因此需能估計模態坐標的觀測器。對自由度較多的結構，只選所需控制模態進行觀測。為此，將式(6)控制模態部分寫成狀態空間形式為

式中:［Ac］為系統矩陣;［Bc］為輸入矩陣;［Cc］為輸出

矩陣;{xc}為控制部分狀態向量，形式有

式中:［P］為Riccati方程的解;［W］為系統噪聲的協方差矩陣;［V］為測量噪聲的協方差矩陣。觀測器增益矩陣［Hc］為

由于模態觀測器未考慮剩余模態，可能造成控制模態阻尼比增加時剩余模態阻尼比反而減小，該現象稱為溢出。若某階剩余模態阻尼比降為負值，系統會不穩定。為分析主動控制作用下系統的穩定性，定義觀測器的誤差向量為

閉環矩陣所有特征值實部均為負值時系統才是穩定的。矩陣中［Hc］［Cr］使傳感器輸出中帶有剩余模態的量，稱為觀測溢出。同時，剩余模態通過［B］［G］對剩余模態進行激勵，稱為控制溢出。模態觀測器即為減少觀測輸出中剩余模態分量，通過設計觀測器增益矩陣將其作為觀測噪聲過濾掉。

為進一步減少觀測輸出中剩余模態分量，重寫式(17)、(18)［10］為

3 突風載荷下懸臂Kagome夾心板振動控制

3.1 突風載荷及結構響應

考慮Kagome夾心板作為機翼受突風擾動，設突風載荷垂直于板面并沿展向均勻分布。飛行器受擾運動只有豎直方向自由度z，以飛行器質心為準，以向下為正。運動方程［11］為

式中:M為飛行器質量;LG為突風引起的總升力，計算公式為

式中:ρ為空氣密度;S為機翼表面積;U為飛行速度; CL為升力系數;α為攻角;wG為突風速度。

將式(23)代入式(22)得

設突風載荷作用于1/4弦長處，對結構進行突風響應模擬，重點觀察懸臂板豎向位移及扭轉。觀測點為圖1中A、B兩點，其中A點為豎向位移觀測點。無量綱扭轉角φ的計算式為

式中:zA，zB分別為A、B兩點豎向位移;b為懸臂板寬度。

圖5 突風載荷下豎向位移及轉角的響應Fig.5 Responses of vertical displacement and angle of rotation under gust load

對暫態激勵，高階模態頻衰減較快，且加速度傳感器帶寬有限，無法測得一定范圍外的高階信號，不考慮此模態引發的溢出。因此可采用模態截斷方法進行時域計算。設傳感器截止頻率約1 000 Hz，取前200階模態(最高頻率1 030 Hz)，模態阻尼比取1%。計算獲得豎向位移及轉角的時、頻域響應見圖5。由圖5看出，位移、轉角衰減較慢，尤其位移，由于振動頻率較低，1 s后仍未充分衰減。

3.2 控制效果

由圖5知，位移、轉角分別以第一、二階模態為主，故用IMSC對兩階模態進行控制，所需作動器數目、傳感器數目為2。需替換兩根桁架作為作動器，占Kagome平面桁架的0.16%，桁架總數的0.08%。通過作動器合理優化布置，可在給定模態作動力前提下使所需物理作動力盡量小。因此用作動器優化方法［2］使作動力上限盡量小。優化目標為使矩陣［Bmc］的最小奇異值σmin最大化，即

因只需確定兩根作動器位置，組合優化問題計算量較小，可用遍歷方法取得最優解。傳感器位置由每階模態中z向位移最大節點確定。作動器、傳感器位置見圖6中粗實線及三角形。所用電容式三軸加速度傳感器體積小、重量輕，布置于Kagome桁架連結點。對所測加速度積分便可獲得節點速度及位移。由于系統頻率較低，為使結構振動盡快衰減，取前兩階模態期望達到模態阻尼比為7.5%。

圖6 作動器和傳感器的位置Fig.6 Placements of actuators and sensors

式(21)中，［V］可抑制觀測輸出中剩余模態成分。［V］越大抑制效果越好，但也會使觀測器收斂速度變慢。因此就觀測器對控制效果影響進行研究。固定［W］=［I］，分別取［V］=［I］，5［I］，10［I］，20［I］，其中［I］為單位矩陣，獲得不同觀測器增益矩陣［Hc］。對閉環系統進行特征值分析，在復平面繪制各情況下觀測器一對閉環極點，見圖7。由圖7看出，［V］越小，復平面觀測器極點越靠左，誤差衰減越快。

為考察觀測器極點對控制效果影響，計算四種權矩陣及未施加控制時五種情況的位移、轉角時間歷程，見圖8。由于轉角振動頻率較高，為便于觀察，取小的時間范圍。由圖8看出，主動控制效果非常明顯，較未控制狀態，位移、轉角衰減速度均有較大提高。

計算獲得四種控制情況下真實響應衰減速率及模態阻尼比。［V］=［I］，5［I］，10［I］，20［I］時第一階模態阻尼比分別為7.48%、6.68%、5.86%、4.88%，第二階模態阻尼比分別為7.31%、7.06%、6.75%、6.09%。由于觀測誤差衰減速率為有限值，因此模態阻尼比不能精確達到設計的7.5%;而權矩陣［V］越小，觀測器極點越靠近復平面左側，誤差衰減越快，所達真實模態阻尼比越接近設計值。因此，在保證無控制溢出前提下，應盡量提高觀測器衰減速率。

圖7 不同權矩陣時觀測器極點比較Fig.7 Comparison of observer poles using different weighting matrices

圖8 五種情況下位移、轉角響應Fig.8 Responses of displacement and angle of rotation in five cases

4 結論

針對航空航天領域中懸臂結構振動問題，本文引入新材料—Kagome夾心板結構實施振動主動控制。對突風載荷作用的懸臂Kagome夾心板結構用IMSC方法，以控制力上限最小化為目標，利用作動器實現對結構前兩階模態振動控制。結論如下:

(1)對懸臂Kagome夾心板用IMSC進行主動控制，只需用作動器替換結構中極少桁架桿，便會有較好的振動控制效果。

(2)觀測器誤差收斂速度會影響實際達到的模態阻尼比，在保證閉環穩定性前提下應使觀測器收斂速度盡量加快。

(3)由于作動器布置于Kagome平面桁架，不會影響面板形狀及厚度。對易產生低頻振動的懸臂板結構，Kagome夾心板應用前景較好。

(4)通過研究觀測器增益與控制效果之關系知，權矩陣越小誤差衰減越快，真實模態阻尼比越接近設計值。應在保證無控制溢出前提下盡量提高觀測器衰減速率。

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Independent modal space vibration control of cantilever Kagome sandwich plate

GUO Kong－ming1，2，JIANG Jun2
(1.School of Electronic and Mechanical Engineering，Xidian University，Xi＇an 710071，China;
2.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures，Xi＇an Jiaotong University，Xi＇an 710049，China)

Active vibration of a kind of cantilever Kagome sandwich plate was studied.A finite element model of the cantilever structure with piezoelectric actuator was established.An active control strategy for cantilever Kagome sandwich plate was proposed by combining the independent modal space control with a modal observer.Aiming at one kind of gust load，the independent modal space control of Kagome sandwich plate was simulated，while the influence of observer poles on the control effect was focused on.The results show that the control method can significantly improve the damping properties，and a greater attenuation factor of the observer can get better control effect.Therefore，Kagome sandwich panel has obvious advantages over traditional board structure in vibration control aspect.

cantilever plate;Kagome sandwich plate;independent modal space control;modal observer

O328;V214.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.02.010

中央高校基本科研業務費專項資金項目(K5051304012)

2013－11－08修改稿收到日期:2014－01－15

郭空明男，博士，講師，1985年生