漸開線齒廓曲線數學模型研究

2015-05-15 08:58:20成建群

機電工程技術 2015年7期

成建群

（蘇州健雄職業技術學院機電工程系，江蘇太倉 215411）

1 研究前提

首先說明一下范成法漸開線齒輪(不作特別說明，這里提到的齒輪均是指漸開線齒輪)切削加工。范成法是利用一對齒輪互相嚙合傳動時其兩輪的齒廓互為包絡線的原理來加工齒輪的，其刀具和輪坯之間的對滾運動與一對互相嚙合的齒輪的運動完全相同，所以這種方法加工的齒輪都能正確的嚙合[1]。用這種方法加工時，若刀具的齒頂線或齒頂圓與嚙合線的交點超過被切齒輪的極限點，則刀具的齒頂將被切齒輪之齒根的漸開線齒廓切去了一部分，這種現象稱為根切現象。如果將根切去的材料補充全，實際應用中齒輪就可能卡死，造成齒輪不能工作。其中刀具的齒頂圓愈平直，愈易超出輪坯的根切極限點，所以齒條刀具最易發生根切現象，同時也就是說，用齒條刀具加工的齒輪不會出現卡死想象[2]。

為了達到減少根切量、調整齒輪中心距、改善齒輪磨損和強度等要求常采用變位齒輪，當變位量為零時，可以認為是標準齒輪[3]。也就是說標準齒輪是變位齒輪的特例。

現對圓柱漸開線齒輪（模數m、壓力角a、齒頂高系數ha、齒根高系數hf、齒數z、變位系數x、分度圓齒厚s、齒間寬e），求齒廓曲線。（壓力角計算時要轉化為弧度）。

不妨首先求出其中一個齒面的輪廓曲線。默認直角坐標系原點為齒輪軸心（不作特別說明，插圖中O點均是指這一點）[4]。

2 求解輪廓曲線

2.1 不發生根切時

條件：

其中ha1為刀具的齒頂高系數。顯然ha1=hf。

2.1.1 當齒根圓不小于基圓時

參數舉例：模數m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數ha=0.8、齒根高系數hf=1.25、齒數z=45、變位系數x=-0.45、分度圓齒厚s=2.356 194 45、齒根倒角半徑rfr=0.5、齒頂倒角半徑rar=0.5。

此時可以假設齒廓曲線依次有如下幾部分組成：齒根圓弧、齒根過度圓弧、漸開線、齒頂圓弧過度、齒頂圓弧。

2.1.1.1 齒根倒角

如圖1，設齒根倒角半徑為rfr，計算過程如下，

設齒根倒角圓心O(x0，y0)，則∶

結論：

設齒根圓弧（x，y），則0≤t≤a9時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤a7時，

設漸開線（x，y）（以壓力角為參數建立參數方程、b2由齒頂倒角給出），則a2≤t≤b2時，

圖1 齒根倒角

2.1.1.2 齒頂倒角

如圖2，設齒頂倒角半徑為rar，計算過程如下，

圖2 齒頂倒角

齒頂倒角圓心o(x0，y0)

結論：

設齒頂倒角圓弧（x，y），則0≤t≤b1時，

設齒頂圓弧（x，y），則b6≤t≤b7時，

2.1.2 當齒根圓小于基圓時

條件：

即：

參數舉例：模數m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數ha=0.8、齒根高系數hf=1.25、齒數z=27、變位系數x=0、分度圓齒厚s=2.356 194 45、齒根倒角半徑rfr=0.5、齒頂倒角半徑rar=0.5。

如圖3，由于在基圓內沒有漸開線，不妨用漸開線起點切線延長漸開線，設齒根依舊有倒角，此時有個臨界情況，即倒角剛好切于漸開線起點A，此時倒角半徑為rt[5]。

圖3 齒根圓小于基圓

不難看出，

可得，

當rt≤rfr時，可以按照基圓小于齒底圓情況處理。

當rfr≤rt時，齒廓曲線依次由如下幾部分組成：齒根圓弧、齒根過度圓弧、直線段、漸開線、齒頂圓弧過度、齒頂圓弧，其中齒頂圓弧過度、齒頂圓弧與基圓小于齒底圓情況相同。

計算過程如下，

設o2(x0，y0)，則：

結論：

設齒根圓弧（x，y），則0≤t≤c1時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤c3時，

設線段DA，其中D（xD，yD），A(xA，yA)，則，

設漸開線（x，y）(以壓力角為參數建立參數方程)，則0≤t≤b2時，

2.2 發生根切時

條件：

其中ha1為刀具的齒頂高系數。顯然ha1=hf。

如圖4，嚙合點在PB2上移動，N點、N1點分別為不同時刻漸開線的起點，M1點的變化就構成了根切。M1點很顯然是從M點開始進入根切，從B2點出根切，設OM1=t，以齒根中軸線OX建立相對坐標系，M點的軌跡就構成了根切曲線。

圖4 根切

計算過程如下，

t的范圍是[tMin，tMax]

這里不難看出，當發生根切現象時，齒根圓一定小于基圓。（齒根圓由M點決定，基圓由N點決定，當M低于N點時，不會發生根切。）首先不考慮根切問題，按照前面2.1.2當齒根圓小于基圓時的情況產生曲線，然后根據這里的結論產生曲線，比較如圖5，粗線部分為根切曲線，B2左邊一段細實線為直線，B2右邊一段細直線為漸開線[6-7]。

如圖6，根切部分（MB2段）在整個齒廓上位置如下：

圖5 根切曲線

圖6 根切位置

為了曲線間平滑過渡，要利用導數方程，計算如下：

根切曲線M1（x，y）

根切曲線斜率：

為了簡單起見，這里不考慮圓弧過渡。

如圖3所示，M點在BA線段上，B2點在由A開始的漸開線上，構成了由B、M、A、B2四點組成D的取值范圍：

（1）當D在BM上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、直線段、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧；

（2）當D在MA上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧；

（3）當D在AB2上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧；

（4）當D在AB2外時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧。

為了體現根切特征，進一步簡化問題，在后面三種情況下，均認為D點重合于M點。

結論：當D在BM上時，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、直線段、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧。

此外，曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧。(其中倒角半徑決定于M點，設為rm。)

與求rt的方法一樣，可得：

2.2.1 D在BM上時

條件：rfr＜rm

參數舉例：模數m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數ha=0.8、齒根高系數hf=1.25、齒數z=15、變位系數x=0.3、分度圓齒厚s=3、齒根倒角半徑rfr=0.5、齒頂倒角半徑rar=0.1。

曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、直線段、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧。

結論：

設齒根圓弧（x，y），則0≤t≤c1時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤c3時，

設線段DM（其中D（xD，yD），M(xM，yM)），則，

根切曲線如上。

設漸開線（x，y），v5為B2處壓力角，則

則v5≤t≤b2時，

齒頂倒角、齒頂圓弧曲線和沒有根切時一樣。

2.2.2 D在BM外時

條件：rfr＞=rm

參數舉例：模數m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數ha=0.8、齒根高系數hf=1.25、齒數z=10、變位系數x=0.3、分度圓齒厚s=3、齒根倒角半徑rfr=0.8、齒頂倒角半徑rar=0.1。

曲線依次為齒根圓弧、齒根倒角、根切曲線、漸開線、齒頂倒角、齒頂圓弧。計算和求c1、c2、c3、o2一樣，只是此時令rfr=rm，于是：

設o2（x0，y0），則：

表示如下：

設齒根圓弧（x，y），則0≤t≤c1時，

設倒角圓弧（x，y），則0≤t≤c3時，

根切曲線如上。

設漸開線（x，y），v5為B2處壓力角，則，

則v5≤t≤b2時，

齒頂倒角、齒頂圓弧曲線和沒有根切時一樣。

3 參數有效性討論

對于齒輪參數模數m、壓力角a、齒頂高系數ha、齒根高系數hf、齒數z、變位系數x、分度圓齒厚s、齒間寬e，均應該符合實際情況。如x可取正負值，z為正整數，其余為正數，一般而言，模數m=1.5、壓力角a=20°、齒頂高系數ha=0.8、齒根高系數hf=1.25、齒數z＞=17、變位系數|x|＜0.5、分度圓齒厚s=2.356 194 45(依賴于變位系數)[8]。

在求各個中間參數時，有的函數對自變量有取值范圍的要求，否則求解沒有意義，造成模型錯誤，所以應該適當討論。如∶