克萊姆法則在礦料級配設計中的運用

肖小泉

克萊姆法則(Cramer’s Rule)是瑞士數學家克萊姆(1704～1752)于1750年，在他的《線性代數分析導言》中發表的。克萊姆法則就是利用行列式求解線性方程組，但解方程組必須滿足兩個條件，一個是方程個數要等于未知量個數，一個是系數行列式不等于零。

這兩個條件在礦料級配設計中都可以滿足。假設現在摻配的礦料有四檔，即礦料組成比例為待解的四個未知數(未知量個數為4)，這個時候再選取四個關鍵性篩孔與之組成方程組(方程個數為4)。

這種方法的運用旨在使計算機試配法有針對性地進行，使整個試配過程變得簡單明了，亦突出體現了關鍵性篩孔對級配控制的重要性。

現在以SMA-13瀝青混合料目標配合比設計過程中對各礦料組成比例的確定為例，詳述其應用。

在目標配合比設計中，首先要對選定的摻配原材料進行篩分，從而對其進行級配合成。合成級配指的是某一篩孔的合成通過率等于各規格料中該篩孔通過率乘以對應的各規格料的用量比例的積之和。規范中對各種類型混合料的級配范圍進行了規定，因此，我們剛好參照規范中對SMA-13混合料的級配范圍要求，初定幾個關鍵性篩孔的合成通過率，通過對“克萊姆法則”的運用，解算矩陣方程，反求得各摻配集料和填料的組成百分比例。表1為SMA-13混合料目標配合比設計中對摻配原材料的篩分試驗結果和級配范圍要求。

表1中，我們參照級配范圍要求，靠近級配范圍中值，結合技術規范中對關鍵性篩孔的通過率要求，假定幾個關鍵性篩孔在合成級配中的通過率(可以同時假定幾組，位于設計級配中的上方、中部和下方，然后進行一系列的比較)。

例如在表1中，我們假定了13.2 mm(公稱最大粒徑)，4.75 mm(控制粗集料)，2.36 mm(控制細集料)，0.075 mm(控制粉塵含量)四個關鍵性篩孔在合成級配中的通過率分別為98%(規范要求級配范圍90%～100%)，28%(規范要求級配范圍20%～34%)，21%(規范要求級配范圍15%～26%)，11%(規范要求級配范圍8%～12%)。在Excel中形成的四個關鍵性篩孔在合成級配中的通過率如表2所示。

表1 摻配原材料的篩分試驗結果和級配范圍要求

表2 四個關鍵性篩孔在合成級配中的通過率

我們選定四個關鍵性篩孔的原因是為了滿足“克萊姆法則”中的條件一。現在已知關鍵性篩孔在合成級配中的通過率，結合各摻配料中關鍵性篩孔的篩分通過率，即可通過解算矩陣方程組，反求得X1，X2，X3，X4的值，即是各檔料的礦料組成百分率。解算過程如下:

1)提取篩分結果中摻配各檔料的關鍵性篩孔通過率見表3。

表3 篩分結果中摻配各檔料的關鍵性篩孔通過率

在Excel表格中引用函數［MDETERM()］(返回一數組所代表的矩陣行列式的值)，求解表3中的行列式的值為P。

2)將表2中的通過率數據一列分別單獨置換表3中0～5，5～10，10～15礦粉中對應的通過率一列。例如，表4即為將表2中的通過率數據一列單獨置換表3中0～5對應的通過率一列后形成的一組數。

表4 表2中通過率置換表3中0～5對應通過率后形成的數據

其他三檔料按上面方法一一形成另外三組數。

同樣在Excel表格中引用函數［MDETERM()］，分別求解置換通過率之后的四組行列式的值，分別為 Q1，Q2，Q3，Q4，有:

X1=Q1/P，X2=Q2/P，X3=Q3/P，X4=Q4/P。

例子中，通過計算得到 X1，X2，X3，X4的值在修約后分別為18% ，24% ，50% ，10% 。

解算得到的X1，X2，X3，X4并不是最終的各檔料的礦料組成百分率，它們之和也不一定等于1(例中百分率之和為102%)，而且有時候解得的值會是負數，這就需要根據情況做適當的調整。

針對解得的值是負數，必須調整假定的幾個關鍵性篩孔在合成級配中的通過率;針對它們之和不等于1，可以調整假定的幾個關鍵性篩孔在合成級配中的通過率，亦可以直接調整X1，X2，X3，X4的值，使得X1，X2，X3，X4之和接近或等于1。我們把調整后的X1，X2，X3，X4作為各檔料的礦料組成百分率初步確定下來，通過級配合成即可得到完整的合成級配，形成級配曲線并觀察其是否達到對SMA-13的設計意圖，對其進一步優化。對例中所求的0～5，5～10，10～15，礦粉的礦料比例進行調整后為 17%，24%，49%，10%。

所得到的合成級配及其曲線分別見表5和圖1。

表5 合成級配計算結果

圖1 級配曲線

對高速公路、一級公路、城市快速路、主干道等交通量大、軸載重的道路，宜偏向級配范圍的下限(粗)，對一般道路、中小交通量或人行道路等宜偏向級配范圍的上限(細)。

合成級配曲線應接近連續的或合理的間斷級配，但不應過多的犬牙交錯，盡量形成接近S形的曲線。當經過再三調整，仍有兩個以上的篩孔超出級配范圍時，必須對原材料進行調整或更換原材料重新試驗。

表6 馬歇爾試驗驗證結果

結合試驗所得最佳瀝青用量，以上述方法所得礦料組成比例拌合成型試件，所得試驗結果見表6。

從驗證結果來看，所驗證的各個指標都能夠滿足技術要求。

［1］ JTG F40-2004，公路瀝青路面施工技術規范［S］.

［2］ 呂偉民，孫大權.瀝青混合料設計手冊［M］.北京:人民交通出版社，2007:4.