基于拉格朗日乘子的三維位場約束反演方法

張 毅李 斐鄢建國李 輝湖北省地震局地震大地測量重點實驗室，武漢 430071武漢大學測繪遙感信息工程國家重點實驗室，武漢 430074

基于拉格朗日乘子的三維位場約束反演方法

張 毅1,2）李 斐2）鄢建國2）李 輝1）
1）湖北省地震局地震大地測量重點實驗室，武漢 430071
2）武漢大學測繪遙感信息工程國家重點實驗室，武漢 430074

一般來說，地球物理數據是地下物質某種物性參數在特定空間中的響應，而地球物理反演正好相反，它是通過獲得不同的模型參數估計來擬合實際觀測數據。由于地下模型參數網格個數通常遠遠大于觀測數據個數，反演方程通常是欠定，反演結果并不唯一。通過在模型目標函數中添加最小模型及最平緩模型的限制，構建L2范數條件下的反演方法，解決了反演問題中解的非唯一性問題。

其中，w(z)為深度加權函數。在位場反演的過程中，由于該函數隨深度的迅速衰減，會產生類似電場中的“趨膚效應”，即反演結果基本趨向集中于地表。為了克服這種效應，Li & Oldenburg（1996, 1998）引入了深度加權函數，用來近似地補償核函數隨著深度的衰減。

實際觀測數據中通常都含有一定的噪音，這些噪聲既可能來源于采集時儀器或者人工誤差，也可能來自數據后處理過程中的誤差。因此，定義一個合理的評價數據的誤差數據目標函數，即數據擬合差是十分有必要的。

利用Tikhonov正則化理論構建反演目標函數：min：φ（m）=φd+μφm，其中μ為Tikhonov正則化參數。對反演目標函數求最小值

在實際地球物理反演過程中，通常會有大量的地質、地球物理等先驗約束信息。通過拉格朗日乘子法，可以構建約束條件下的三維位場數據反演目標函數，使物性分布特征等先驗信息可以添加進反演過程之中。此時，反演過程還需要滿足如下關系式：

引入拉格朗日乘子、松弛變量以及懲罰函數，并求取最小值可以得到：

通過拉格朗日乘子法中約束項的引入，使反演目標函數得到適當擴展，重新構建了新的三維位場反演的目標函數，由于各種先驗信息在反演過程中的使用，會在一定程度上對反演結果起到“聚焦”的作用，同時也更加符合實際情況。