關于Hermite矩陣的一些性質

李東方　劉會彩

摘 要：本文給定兩個Hermite矩陣A、B 以及它們的特征值，給出了乘積矩陣AB 的跡的一些不等式，進而得到矩陣之和A+B 的一些特征值不等式。以及通過研究正定Hermite矩陣Schur 補的跡和特征值的性質，得到了正定Hermite矩陣和的Schur 補與正定Hermite矩陣Schur 補的和的跡和特征值之間的不等式.

關鍵詞：Hermite矩陣，特征值， 矩陣的跡，Schur補

眾所周知對于矩陣特征值估計的研究無論是在理論上還是在應用上都有極其重要的意義，且已有大量的研究文獻。

1 預備知識

定義1 設矩陣 ，若 （ 是指 的共軛轉置），則稱A 為Hermite矩陣。

定義2 稱為矩陣A 的跡。

定義3 如果非負矩陣A 的所有行和以及列和均為1，就稱A 是雙隨機矩陣。

定義4 設 表示n ×n 階矩陣. 是非奇異主子

陣， 我們稱 是A 關于 的Schur 補，記為 .

引理1 矩陣 為Hermite矩陣，則A 的所有特征值都是實數。

引理2 矩陣 為Hermite矩陣，其特征值為 它們按任意規定的次序排列，則存在一個酉矩陣 ，使得

引理3 矩陣 為雙隨機矩陣，當且僅當對某個 存在置換矩陣 和正純量 ，使得 ，且 .

引理4 設 為一置換， 為按遞增順序排列的兩個數列，則有： .

引理5 設 是正定矩陣，若 ，那么 .

引理6 若存在非奇異陣 使得 ，那么

證明 因為

所以

引理7 若A ≥0 ， B ≥0 ，那么A + B ≥0

引理8 若 是半正定Hermite矩陣， 是 非奇異主子陣，那么 半正定.

證明 設 ，取 ，有

因A 半正定， 由引理6 ， 知 半正定.

2 主要結果

定理1 設A， B 均為n ×n Hermite矩陣，它們的特征值分別依次從大到小排列為： ，則有

證明 A 為正定Herm ite矩陣時， 由于A， B 均為n ×n He rmite矩陣， 則分別存在酉矩陣W， V 使得：

則：

記 ，易知U仍為酉矩陣，故有：

由 知 是雙隨機矩陣，記Ω為雙隨

機矩陣的集合，考慮如下極大值問題：

由于Ω為一有界閉凸集， 上面問題的目標函數是關于 的線性函數， 故它在Ω的某一端點上取得極大值. 而由引理3知雙隨機矩陣集合的端點為置換矩陣， 故存在置換矩陣 使

其中 為一置換矩陣 對應的置換，于是由引理4，可得：

（2）

如果A 是非正定的，則存在充分大的實數m >0，使得A +m I為正定陣（ I為n ×n階單位陣） ，則A+m I的特征值為 ， 由（2）有：

即：

又因為： 所以：

故結論成立。

由定理1易知以下結論成立。

推論1 設A為n ×n正定He rmite矩陣， B 為n×nHe rmite矩陣，矩陣A， B ， AB 的特征值分別為： . 則有： .

推論2 設 ， 為n ×n正定He rmite矩陣，矩陣A， B ， AB 的特征值分別為： .則有 .

定理2 設A， B ， C均為n ×nHermite稱陣， 它們的特征值依次從大到小排列為： ，如果 ，則 的特征值之間有如下關系成立：

證明 由于 均為n ×nHermite矩陣，則

推論3 設 均為n ×n正定Hermite矩陣， 它們的特征值依次從大到小排列為： 則： .

定理3 設 ， 是正定Hermite矩

陣，且 分別是 的非奇異主子陣，那么

（1）

證明

于是

注意到 均為n - k 階正定Hermite矩陣，由引理5容易得到：

故結論成立。

參考文獻

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