Dirichlet邊界條件下帶有反應項的非局部擴散方程組解的全局存在

張敏華, 曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350116)

Dirichlet邊界條件下帶有反應項的非局部擴散方程組解的全局存在

張敏華, 曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院, 福建 福州 350116)

為研究在Dirichlet邊界條件下帶有反應項的非局部擴散方程組解的相關性質. 利用Banach不動點定理證明了方程組解的局部存在性和唯一性、 并建立比較原理， 得到在一定條件下方程組的解全局存在.

反應項； 非局部擴散； Dirichlet邊界條件； 全局存在

0 引言

主要考慮下列Dirichlet邊界條件下非局部擴散方程組：

注 在問題(1)中擴散是發生在RN中， 但是在文章中假設在區域Ω的外部u,v消失， 這與在Dirichlet邊界條件下的熱方程(見文獻[1])是相類似的.

Garcia Melian[4]中研究了非局部擴散的Fujita指標. 對于方程

對于非局部擴散的問題，Rossi等[5]研究了在Neumann邊界條件下帶有反應項的非局部擴散問題解的爆破：

1 預備知識

為了得到相關結論， 先給出以下的定義. 令γ=min(p,q).

通過改變上述不等號的方向可以定義下解.

為了證明本文定理， 先給出相關的引理， 同時也給出問題(1)解的比較原理. 將通過Banach不動點定理得到問題(1)解的局部存在性和唯一性.

令t0>0是固定的， 并考慮Banach空間

即問題(1)與下列積分方程組是等價的：

于是問題(1)的解(w(x,t),z(x,t))將作為算子Θ(w,z)=(Φ,Ψ)的不動點而得到， 其中Θ(w,z)=(Φ,Ψ)是BR∩Et0到自身的映射.

其中: 當x?Ω時，w(x,t)=0,z(x,t)=0.

證明 首先證明Θ(w,z)是確切的.

同理得到Ψz0(z)關于時間是連續的. 因此得到算子Θ(w,z)=(Φ,Ψ)作為Et0→Et0是適定的.

接下來將證明對于?(w,z)∈BR∩Et0， 得到Θ(w,z)=(Φ,Ψ)是BR∩Et0到自身的嚴格壓縮映射[6].

下證Θ(w,z)是嚴格壓縮的.

同理得……