正弦機構在球面展開中的運用

龔凌云

（廣州鐵路職業技術學院機電工程學院，廣東廣州 510430）

1 引言

實現鋼球表面展開也就使鋼球在展開機構的作用下，連續、高速的運動，并將其表面各區完全的送到傳感器下進行檢測，在這一過程中球表面不能有盲區。鋼球表面展開運動實際上是鋼球受兩套獨立驅動機構的作用，完成一種比較復雜空間螺旋運動。本文利用正弦機構原理提出了一種新的球面運動展開方法。

2 正弦機構原理

正弦機構如圖1所示。在此機構中，從動件2與3（實為鋼球，其球心固定不動）只有滾動而無滑動，故為同步運動[1]。從動件2與原動件1的轉角α的正弦成正比，即

圖1 正弦機構

上式中， lAB為桿AB的長度，α為桿AB的轉角，ωα為桿AB的轉動角速度， t為轉動時間。對從動件3而言，則有：

上式中，r為球O的半徑，θ為球O的轉角。

由（2）式可得：

由此可知，當主動件1勻速轉動時，鋼球的轉角θ是按正弦規律變化的，轉角θ的最大值θmax取決于桿 AB的長度lAB與鋼球的半徑r，即

3 球面運動展開法

正弦機構實現了球繞Oz的來回偏轉，如果球同時繞Oy回轉，那么就能實現球體的偏轉，即也就實現球面的運動展開，即為球面的運動展開法。

鋼球在展開運動中，鋼球的球心O在空間的位置保持不變。選取O-xyz為固定坐標系，取O-x’y’z’為動坐標系與球固結，在初始位置與固定坐標系重合。如圖1所示。球繞固定坐標系Oy旋轉的同時，繞Oz旋轉，球繞Oy’與繞Oz’的轉角分別為ψ和θ。

鋼球在這整個運動過程中必須連續。因此，球對這兩個軸的轉動是有規律地定時重復，這樣球面上一點運動的軌跡曲線才能是閉合的[2]。在正弦機構的作用下，θ繞Oz’(Oz)規律做往復運動，即

角速度大小

角速度矢量方向與OZ’(OZ)軸一致。轉角ψ為鋼球繞OY’軸在勻速運動時發生的轉角，即ψ=ωψt，ωψ為鋼球繞Oy/軸在勻速運動時的角速度，角速度矢量方向與Oy/軸一致。

鋼球上點的位置用矢量r表示，設半徑為R球面上一點P的初始坐標為(x0，y0，z0)，經時間t變換后的坐標為(x，y，z)。則有

球面上P點的瞬時速度

而

由以上二式得：

可知運動學方程為：

而動坐標系O-XYZ與靜坐標系O-X/Y′Z′之間的轉換矩陣為

球做自轉運動時，其上的任一點的坐標變換矩陣為

將（10）式代入（9）式，并引入初始解條件（（x ， y，z|t=0=(x0，y0，z0)，可得P點運動的軌跡方程即

（11）式精確地給出了鋼球在正弦機構(ωα)與勻速運動機構(ωψ)綜合作用下，其上的一點P(x0，y0，z0經過時間t后，運動到球面上另一點（x，y，z）處的運動學方程。這一研究為鋼球展開機構的優化提供了必要的數學工具與理論基礎。

4 結論與實例

圖2 不同時刻P點的運動軌跡

圖3 P點的綜合運動軌跡圖

本文利用展開輪推動鋼球轉角呈現正弦規律變化的趨勢，得出了鋼球運動變化的解析式（11）。為實現鋼球展開機構的優化，以此兩種特定的運動定量地研究鋼球的運動規律，建立一套更為準確、有效、簡便的數學工具是本文研究的重點。

為了驗證（11）式的正確同時利用MATLAB的數值計算功能和函數可視化功能，根據上面所提供的解析式得出球面上P點在不同時刻的運動軌跡圖如圖2所示。當球按照上述運動規律連續運動，直至完成一次全面展開，球面上P點的運動軌跡如圖3所示，可以看出時間化分得越小，P點的運動軌跡包絡成的曲線就是一個球面。

［1］蘇步青，華宣積，忻元龍.實用微分幾何引論［M］.北京：科學出版社，1986.

［2］J.B.Marion.質點與系統的經典動力學［M］.北京：高等教育出版社，1985.