Mackey-Glass時滯系統的穩定性與混沌控制

楊紀華，李艷秋

(1.寧夏師范學院數學與計算機科學學院，寧夏 固原 756000；2.南京工業大學理學院，江蘇 南京 210009)

Mackey-Glass時滯系統的穩定性與混沌控制

楊紀華1，李艷秋2

(1.寧夏師范學院數學與計算機科學學院，寧夏 固原 756000；2.南京工業大學理學院，江蘇 南京 210009)

研究了時滯對Mackey-Glass系統動力學的行為影響和混沌控制. 首先，時滯反饋控制不能使系統的零平衡點控制為穩定的. 對于非零平衡點，從系統線性化方程的特征方程根的分布入手，分別研究了具有單時滯和雙時滯系統的線性穩定性. 發現當系統中的時滯經過一系列臨界值時，系統經歷了Hopf分支. 其次，應用時滯反饋控制方法，選擇合適的反饋增益和時滯使系統在不穩定非零平衡點附近出現周期軌. 最后，通過數值模擬檢驗了理論結果.

穩定性；Hopf分支；混沌吸引子；混沌控制；周期軌

考慮Mackey-Glass模型[3]

該系統最初是用來描述白細胞繁殖的模型，后來成為混沌理論中超混沌系統的典型代表，其中x(t)表示血液循環中成熟細胞的質量分數，τ是在骨髓中產生未成熟細胞和在血液中釋放成熟細胞的時滯參數，a為系統的反饋率，n是正常數.如需要其詳細的生物學意義，請參考文獻[3-6]. 在文獻[7]中利用中心流形定理和規范型理論討論了離散時滯Mackey-Glass系統的動力學性質，并研究了當參數經過一系列臨界值時Neimark-Sacker 分岔的穩定性與方向.在文獻[8]中，作者對于二維時滯微分方程進行了研究，并分別通過單向和雙向耦合實現了混沌同步. 本文應用時滯反饋控制方法研究具有雙時滯的Mackey-Glass模型

(1)

其中k為反饋增益，τ2是時滯. 本文中a>1，n>0，k>0.

1 平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性

λ+1+k-ae-λτ1-ke-λτ2=0.

(2)

定理1.1 對任意的k和τ2，系統(1)的平衡點x0=0都是不穩定的.

證明λ=u+iv(v>0)為方程(2)的根的充分必要條件是

(3)

顯然v=0是方程組(3)中第二個方程的根. 令

F(u)=u+1-ae-uτ1+k(1-e-uτ2)，

可得

F(0)=1-a<0，F(a)=1+a(1-e-aτ1)+k(1-e-aτ2)>0.

由介值定理，存在u0∈(0，a)使得F(u0)=0，即方程(2)至少有一個具有正實部的根. 因此系統(1)的平衡點x0是不穩定的. 定理得證.

下面僅討論系統(1)在平衡點x1處的情形，點x2處可類似論證.系統(1)在平衡點x1處的特征方程為

φ(λ)=λ+1+k-be-λτ1-ke-λτ2=0，

(4)

引理1.1 當τ1=τ2=0時，方程(4)的所有根具有負實部.

下面我們分兩種情形論證引理1.1的結論.

第一種情形：τ2=0.

此時，特征方程(4)變為

ψ(λ)=λ+1-be-λτ1=0.

(5)

(6)

證明λ=iβ(β>0)是方程(5)的根當且僅當β滿足

從而可得

(7)

證明 對方程(5)兩端同時關于τ1求導得

所以

證明 由引理1.2可得結論(ⅰ)正確. 由引理1.3，當τ1∈[τ1，0，+∞)時，特征方程(5)至少有一對具有嚴格正實部的根，故當τ1∈[0，τ1，0)時，系統(1)的零平衡點是局部漸近穩定的；當τ1∈[τ1，0，+∞)時，系統(1)的零平衡點是不穩定的. 由文獻[10]中關于泛函微分方程的Hopf分支定理可得結論(ⅱ)成立.

第二種情形：τ2≠0.

為方便起見，記

g(ω)=b2+ω2+2k+1-2b(1+k)cosτ2ω+2ωbsinτ2ω.

(8)

證明 設iω(ω>0)是方程(4)的根，則

(9)

由此

b2+ω2+2k+1-2b(1+k)cosτ1ω+2ωbsinτ1ω=0.

(10)

記

引理1.5 如果ω0τ1cosω0τ2，0+(1+τ1+kτ1)sinω0τ2，0≠0，則

證明 方程(4)兩端同時關于τ2求導得

所以

其中

因為ω0τ1cosω0τ2，0+(1+τ1+kτ1)sinω0τ2，0≠0，所以

由本文引理1.2至引理1.5和文獻[10]中第11章定理1.1，可以得到下面關于系統(1)的平衡點的穩定性與Hopf分支的存在性定理.

2 混沌控制分析

本小節討論怎樣選擇合適的控制參數k和τ2，使得系統(1)不穩定的平衡點在其一個領域內控制為周期解.

證明 對任意的正數r，定義Γ=Γ1∪Γ2，其中

3 數值模擬

例3.1 在系統(1)中取a=2，n=10，τ2=0，通過簡單計算可得τ1，0≈0.604 6. 根據定理1.2，當τ1=0.3時，系統(1)的平衡點是局部漸近穩定的；當τ1=0.6時，系統(1)經歷了Hopf分支，如圖1所示；當τ1=10時，系統(1)的平衡點是不穩定的，且出現了混沌吸引子，如圖2所示.

圖1 當τ2=0，τ1=0.6時，系統(1)經歷了Hopf分支

圖2 當τ2=0，τ1=10時，系統(1)出現了混沌吸引子

圖3 當τ1=10，τ2=1.622 3，k=3時，系統(1)的平衡點x1附近出現了周期為2的周期解

4 結論

本文研究了時滯對Mackey-Glass系統動力學行為的影響和混沌的控制. 首先，時滯反饋控制方法不能使系統的零平衡點控制為穩定的. 對于非零平衡點，從對系統線性化方程的特征方程根的分布分析入手，分別研究了具有單時滯和雙時滯系統的線性穩定性. 發現當系統中的時滯經過一系列臨界值時，系統經歷了Hopf分支. 其次，應用時滯反饋控制方法，選擇合適的反饋增益和時滯使系統在不穩定非零平衡點附近出現周期軌. 最后，通過數值模擬驗證了理論結果. 利用得到的基本定理，能很好地判斷此類模型平衡點的漸近穩定性和周期軌的存在性．因此本文的研究結果具有一定的實際意義.

[1] 尹社會，張勇，張付臣，等. 基于Lorenz系統的強迫Lorenz混沌系統的動力學研究[J]. 東北師大學報(自然科學版)，2014，46(1):42-47.

[2] 秦進. 一類三維混沌系統的動力學行為研究[J]. 東北師大學報(自然科學版)，2015，47(1):48-52.

[3] MACKEY M C，GLASS L. Oscillation and chaos in physiological control system[J]. Science，1977，197:287-289.

[4] SHAHVERDIEV E M，NURIEV R A，HASHIMOV R H. Chaos synchronization between the Mackey-Glass systems with multiple time delays[J]. Chaos，Solitons and Fractals，2006，29:854-861.

[5] MACKEY M，HEIDEN U. Dynamic diseases and bifurcations in physiological control systems[J]. Funk Biol Med，1982(1):156-164.

[6] BEREZANSKV L，BRAVERMAN E，IDELS L. Mackey-Glass model of hematopoiesis with non-monotone feedback：stability，oscillation and contol[J]. Applied Mathematics and Computation，2013，219:6268-6283.

[7] 侯愛玉，彭震春. 離散時滯Mackey-Glass系統的穩定性與分岔[J]. 湖南工業大學學報，2010，24(5):23-27.

[8] PYRAGAS K. Synchronization of coupled time delay systems[J]. Analytical Estimations Phys Rev E，1998，58:3067-3071.

[9] RUAN S，WEI J. On the zeros of transcendental functions to stability of delay differential equations with two delays[J]. Dyn Contin Discrete Impuls Syst A Math Anal，2003，10:863-874.

[10] HALE J K，LUNEL S V. Introduction to functional differential equation[M]. New York：Springer-Verlag，1993:189-192.

[11] CAHLON B. On the stability of Volterra integral equations with a lagging argument[J]. BIT，1995，35:19-29.

(責任編輯：李亞軍)

Stability and chaotic control of Mackey-Glass time-delayed system

YANG Ji-hua1，LI Yan-qiu2

(1.Department of Mathematics and Computer Science，Ningxia Normal University，Guyuan 756000，China；2. College of Science，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009，China)

It is investigated that the effect of delay on dynamic behavior and chaotic control of Mackey-Glass system. Firstly，we show that delayed feedback control cannot stabilize the origin. For non-zero equilibrium，the linear stabilities with one delay and two delays are respectively investigated by analyzing the distribution of the roots of associated characteristic equation.It is found that Hopf bifurcations exist when the delays pass through a sequence of critical values. Secondly，applying of delayed feedback control method，by designing appropriate feedback strength and delay，we show that the unstable equilibrium can be controlled to be stable bifurcating periodic solutions at the neighborhood of the equilibrium. Finally，some numerical simulations are carried out for supporting the analytic results.

stability；Hopf bifurcation；chaotic attractor；chaotic control；period orbit

1000-1832(2015)04-0030-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.007

2014-04-14

國家自然科學基金資助項目(11361046，11301263)；寧夏自然科學基金資助項目(NZ13213)；寧夏高等學校科研項目(GX2014[222]17).

楊紀華(1983—)，男，講師，主要從事微分方程的穩定性與分支研究.

O 175.13 [學科代碼] 110·44

A