交換可剩余半群的剩余BCI-代數

楊 聞 起

(寶雞文理學院數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013)

交換可剩余半群的剩余BCI-代數

楊 聞 起

(寶雞文理學院數學與信息科學學院，陜西 寶雞 721013)

引入了交換可剩余半群的剩余BCI-代數的概念并討論了其性質，表明了交換可剩余半群與BCI-代數的關系，得到了全序半群的剩余BCI-代數是BCK-代數，序半群是平凡的當且僅當其剩余BCI-代數是p-半單的.還給出了交換可剩余半群與其剩余BCI-代數的理想和濾子之間的關系.

序半群；交換可剩余半群；BCI-代數；理想；濾子

1 預備知識

序半群是半群結構與序結構相互交融的產物，可剩余半群是一類重要的序半群.文獻[1]系統地論述了序半群理論.

定義1[1]設S是半群，“≤”為S上的偏序，?a，b，c∈S，如果當a≤b時，必有

ac≤bc，ca≤cb，

則稱S為序半群，記為(S，≤，·)，在不致混淆時，也簡記為S.

在交換序半群中，左剩余與右剩余等價，故在交換剩余半群中，把左、右剩余統稱為剩余.另外，根據本文的需要，把交換半群中的乘法改寫為加法，那么有下面的結論.

引理1[1]在交換可剩余半群S中，?x，y，z∈S，有以下公式成立：

(1) (y∶x)+x≤y，y≤(y+x)∶x，y≤x∶(x∶y)；

(2) (x∶y)∶z=x∶(y+z)，(x∶y)∶z=(x∶z)∶y；

(3) (x∶y)+z≤(x+z)∶y；

(4)a≤b??x∈S，有a∶x≤b∶x，x∶b≤x∶a.

在交換可剩余半群(S，+，≤)中，如果存在元素0，使得?x∈S，有0+x=x+0=x，則稱0為零元.設m∈S，如果?x∈S，由m≤x可推出x=m，稱m是S中的極大元.

零元是極大元的交換可剩余半群是一類重要的序半群，文獻[2-3]從不同的角度研究了它的性質.為敘述方便，本文把零元是極大元的交換可剩余半群記為(S，+，≤，0)，0表示零元，它同時還是一個極大元.

BCI-代數是一類重要的邏輯代數，文獻[4]系統地論述了相關理論.

定義3[4]設集合X上有運算*及常元0.?x，y，z∈X，如果：

(1) ((x*y)*(x*z))*(z*y)=0，

(2)x*0=x，

(3)x*y=0且y*x=0?x=y.

(4) 0*x=0，

則稱X是BCK-代數.

在BCI(BCK)-代數X中規定x≤′y?x*y=0，那么“≤′”是X上的偏序，叫作X的自然偏序，且0為該偏序的極小元(最小元)，把偏序集(X，≤′)也叫作該BCI(BCK)-代數的自然偏序集.

(1)x*x=0；

(3)x*(x*y)≤′y；

(4) (x*z)*(y*z)≤′x*y;

(5)x*(x*(x*y))=x*y；

(6) 0*(x*y)=(0*x)*(0*y)；

(7) 由x≤′y可推出x*z≤′y*z，z*y≤′z*x.

本文試圖研究以下三個問題：

(1) 什么樣的序半群能導出BCI-代數？

(2) 由序半群導出的BCI-代數有怎樣的性質和作用？

(3) 序半群與它導出的BCI-代數的理想和濾子之間的關系如何？

2 交換可剩余半群的剩余BCI-代數

定理1 設(S，+，≤，0)是一個以0為零元的交換可剩余半群，且0為極大元，a∶b表示a關于b的剩余，那么(S，∶，0)是一個以0為零元的BCI-代數.特別地，如果0是最大元，那么(S，∶，0)是一個以0為零元的BCK-代數.

證明 ?x，y，z∈S，有：

(1) 如果x∶y=0，那么0+y≤x，即y≤x；反之，如果y≤x，0+y≤x，則0≤x∶y，但0為極大元，故x∶y=0.從而x∶y=0當且僅當y≤x，進而x∶y=0，且y∶x=0當且僅當x=y.

(2) 設x∶0=y，由于x+0=x≤x，故x≤y，又因為y=y+0≤x，x=y，從而x∶0=x.

(3) 設x∶y=u，x∶z=v，z∶y=w，則

u+y=y+u≤x，v+z=z+v≤x，w+y=y+w≤z，

故v+w+y≤v+z≤x，w+v=v+w≤x∶y=u，w≤u∶v，由(1)知(u∶v)∶w=0，即((x∶y)∶(x∶z))∶(z∶y)=0.

由定義3知，(X，∶，0)是一個以0為零元的BCI-代數.由于0為零元，0+x=x，如果0還是最大元，即?x∈S，x≤0，0+x≤0，故0≤0：x，但0是最大元，從而0∶x=0，所以(S，∶，0)是一個BCK-代數.

定義4 在序半群(S，+，≤，0)中，把按照剩余運算“∶”做成的BCI-代數(S，∶，0)叫作該序半群的剩余BCI-代數.特別地，如果0是最大元，把BCK-代數(S，∶，0)叫作該序半群的剩余BCK-代數.

必須注意，由于BCI-代數(S，∶，0)的自然偏序為x≤′y?x∶y=0，而由定理1的證明過程知，序半群(S，+，≤，0)的偏序為x≤y?y∶x=0，可見，這兩個偏序互相對偶，從而序半群的極大元就是其剩余BCI-代數的極小元.另外，我們還可以把定義3和引理2中的公式直接轉化為序半群(S，+，≤，0)關于剩余運算的公式.

引理3 在序半群(S，+，≤，0)中，?x，y，z∈S，有以下公式成立：

(1)x∶y=0?y≤x，x=y?x∶y=y∶x=0；

(2)x∶0=x；

(3)z∶y≤(x∶y)∶(x∶z)；

(4) 0∶(x∶y)=(0∶x)∶(0∶y)；

(5)x∶x=0；

(7) (x∶z)∶(y∶z)≥x∶y；

(8)x∶(x∶(x∶y))=x∶y；

(9) 0∶(x∶y)=(0∶x)∶(0∶y)；

(10) 由x≤y可以推出x∶z≤y∶z，z∶y≤z∶x.

定理2 全序半群(S，+，≤，0)的剩余BCI-代數(S，∶，0)是BCK-代數.

證明 設序半群(S，+，≤，0)是全序的，由于0是極大元，這時0必為最大元，從而在剩余BCI-代數(S，∶，0)中0就是最小元，由定理1知(S，∶，0)是BCK-代數.

在半群S中，如果取偏序為?x，y∈S，x≤y?x=y，稱該序半群是平凡的.

顯然，以下命題等價：(1)序半群S是平凡的；(2)每個元素都是極大元；(3)任意兩個不同的元素不可比較；(4)偏序≤與其反序≥保持一致.

定理3 序半群(S，+，≤，0)是平凡的當且僅當它的剩余BCI-代數(S，∶，0)是p-半單的.

證明 設序半群(S，+，≤，0)是平凡的，即每個元素都是極大元，從而它的剩余BCI-代數(S，∶，0)中的每個元素都是極小元，從而它的剩余BCI-代數(S，∶，0)是p-半單的.由于以上各步都可逆，故反過來也成立.

定理4 設序半群(S，+，≤，0)的剩余BCI-代數為(S，∶，0)，則BCI-代數(S，∶，0)的加法序半群是(S，+，≤，0)，當且僅當序半群(S，+，≤，0)是平凡的.

證明 設BCI-代數為(S，∶，0)的加法序半群為(S，+′，≤′，0)，如果序半群(S，+，≤，0)是平凡的，則偏序≤的反序還是自身，即加法序半群的偏序≤′就是≤.另外，?x，y∈S，由引理1，x+′y=0∶((0∶x)∶y)=0∶(0∶(x+y))，但由定理3知，BCI-代數(S，∶，0)是p-半單的，故0∶(0∶(x+y))=x+y，從而x+′y=x+y，即兩個加法運算一致，從而BCI-代數(S，∶，0)的加法序半群就是序半群(S，+，≤，0).反過來，如果BCI-代數為(S，∶，0)的加法序半群就是原序半群(S，+，≤，0)，則偏序≤的反序還是≤，故序半群(S，+，≤，0)是平凡的.

我們知道，全序與平凡偏序是偏序的兩個極端，而BCK-代數與p-半單BCI-代數也是BCI-代數的兩個極端，定理2和定理3表明，這兩個極端的序半群恰好導出這兩個極端的BCI-代數.

3 交換可剩余半群與其剩余BCI-代數的理想和濾子

文獻[1]給出了序半群的理想和濾子的概念：設S是序半群，A是S的非空子集.如果：(1)a∈A，s∈S?as，sa∈A；(2)b≤a∈A?b∈A.則稱A是S的理想.如果：(1)ab∈A?a，b∈A；(2)b∈A，b≤a?a∈A.則稱A是S的濾子.

交換可剩余半群與其剩余BCI-代數的理想和濾子有著緊密的聯系.

定理5 設A是序半群(S，+，≤，0)的濾子，則A必是其剩余BCI-代數(S，∶，0)的理想.

證明 首先，取a∈A，由于0為零元，0+a∈A.注意到A是序半群(S，+，≤，0)的濾子，故0∈A.其次，設a∈A，b∶a∈A，則(b∶a)+a∈A，由引理1知(b∶a)+a≤b，故b∈A，從而A必是BCI-代數(S，∶，0)的理想.

定理6 如果A是序半群(S，+，≤，0)的理想，且A關于剩余運算“∶”封閉，那么A必是其剩余BCI-代數(S，∶，0)的濾子.

證明 任取a∈A，由于A關于剩余運算“∶”封閉，故0=a∶a∈A.再設a∶b∈A，由引理1知，b≤a∶(a∶b)∈A，且A是序半群(S，+，≤，0)的理想，故b∈A，所以A是BCI-代數(S，∶，0)的理想.

引理4[4]用M(S)表示BCI-代數(S，*，0)的全部極小元，則M(S)={0*x|x∈S}.

定理7 設序半群(S，+，≤，0)的剩余BCI-代數為(S，∶，0)，M(S)?A?S，如果A是BCI-代數為(S，∶，0)的理想，那么A必是序半群(S，+，≤，0)的濾子.

證明 設A是BCI-代數為(S，∶，0)的理想.首先，?a，b∈A，由引理1和定理3知((a+b)∶a)∶b=(a+b)∶(a+b)=0∈A，由于A是BCI-代數的理想，且a，b∈A，故a+b∈A.反過來，設a+b∈A，由引理1和引理3知a∶(a+b)=(a∶a)∶b=0∶b.由引理4知，0∶b是BCI-代數中的極小元.從而0∶b∈A，即a∶(a+b)∈A，由于a+b∈A，且A是BCI-代數為(S，∶，0)的理想，故a∈A，同理也有b∈A.

其次，設a∈A，a≤b，則b∶a=0∈A，但A是BCI-代數的理想，故b∈A，從而A必是序半群(S，+，≤，0)的濾子.

定理8 設序半群(S，+，≤，0)的剩余BCI-代數為(S，∶，0)，M(S)?A?S，如果A是BCI-代數(S，∶，0)的濾子，那么A必是序半群(S，+，≤，0)的理想.

證明 設A是BCI-代數為(S，∶，0)的濾子.?a∈A，?s∈S，由引理1和引理3知，a∶(a+s)=(a∶a)∶s=0∶s.由引理4知0∶s是BCI-代數的極小元，故0∶s∈A，從而a∶(a+s)∈A，但a∈A，且A為BCI-代數的濾子，故s+a=a+s∈A.

其次，設b≤a∈A，則a∶b=0∈A，但A為BCI-代數為(S，∶，0)的濾子，故b∈A.所以A是序半群(S，+，≤，0)的理想.

[1] 謝祥云.序半群引論[M].北京：科學出版社，2001：5-19.

[2] 李繼成.剩余幺半群的商結構[J].純粹數學與應用數學，1995，11(1)：109-113.

[3] 李繼成.關于剩余幺半群中元素的剩余周期[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，1995，23(2)：27-30.

[4] HUANG YISHENG.BCI-algebra[M].Beijing：Science Press，2006：11-78.

[5] 楊聞起.BCI-代數與半群[M].北京：科學出版社，2011：87-90.

[6] 楊聞起.IS-代數的伴隨半環[J].東北師大學報(自然科學版)，2012，44(3)：46-51.

[7] 楊聞起.強序半群的伴隨KS-代數[J].東北師大學報(自然科學版)，2014，46(3)：34-37.

[8] 楊聞起.BCI-代數的濾子[J].安徽大學學報(自然科學版)，2013，37(2)：15-18.

(責任編輯：李亞軍)

Residual BCI-algebras of the commutative residuated semigroups

YANG Wen-qi

(College of Mathematics and Informatics，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，China)

The concept of the residual BCI-algebra of a commutative residuated semigroup is introduced and the relation between them are discussed.In addition，two conclusions are obtained as follows. One is that the residual BCI-algebra of a total semigroup is a BCK-algebra.The other is that a ordered semigroup is trivial if and only if its residual BCI-algebra is p-semisimple.Besides，the relation of its ideal and filter between the residual BCI-algebra and a commutative residuated semigroup are investigated.

ordered semigroup;commutation residuated semigroup；BCI-algebra；ideal;filter

1000-1832(2015)04-0022-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.005

2014-05-05

陜西省自然科學基金資助項目(2010JM1016)；陜西省教育廳專項基金資助項目(14JK1050).

楊聞起(1962—)，男，教授，主要從事代數學研究.

O 153.1 [學科代碼] 110·2115

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